31. YO s2019 #11
Maanjäristykset aiheuttavat korkeissa rakennuksissa värähtelyjä, jotka saattavat olla tuhoisia. Värähtelyjä voidaan tutkia pienoismallien ja kiihtyvyysantureiden avulla. Videossa 11.A on esitetty korkean rakennuksen puinen pienoismalli, joka saatetaan värähtelemään. Havaitaan, että värähtely vaimenee. Pienoismallin yläpinnan kiihtyvyys on mitattu ajan funktiona, ja mittaustulokset ovat tiedostossa 11.B.
Yksinkertaisin matemaattinen malli värähtelijän kiihtyvyydelle vaimenevassa värähtelyssä on [[$ a\left(t\right)=Ae^{^{-Bt}}\cos\left(Ct\right) $]], jossa A, B ja C ovat parametreja. Parametri A on värähtelyn amplitudi hetkellä t. Parametri [[$ B=\frac {\ln 2}{T_{1/2}} $]], jossa [[$ T_{1/2} $]] on aika, jossa värähtelyn amplitudi pienenee puoleen. Parametri [[$ C=2\pi f $]], jossa f on värähtelyn taajuus. Mallissa funktio [[$ a\left(t\right)=Ae^{^{-Bt}} $]]on värähtelyn eksponentiaalisesti vaimeneva amplitudi ja funktio [[$ \cos\left(Ct\right) $]] kuvaa puolestaan värähtelyn periodista vaihtelua.
Aineisto: 11.A Video: rakennuksen pienoismalli 11.B Mittaustulokset T11_B.cmbl
Yksinkertaisin matemaattinen malli värähtelijän kiihtyvyydelle vaimenevassa värähtelyssä on [[$ a\left(t\right)=Ae^{^{-Bt}}\cos\left(Ct\right) $]], jossa A, B ja C ovat parametreja. Parametri A on värähtelyn amplitudi hetkellä t. Parametri [[$ B=\frac {\ln 2}{T_{1/2}} $]], jossa [[$ T_{1/2} $]] on aika, jossa värähtelyn amplitudi pienenee puoleen. Parametri [[$ C=2\pi f $]], jossa f on värähtelyn taajuus. Mallissa funktio [[$ a\left(t\right)=Ae^{^{-Bt}} $]]on värähtelyn eksponentiaalisesti vaimeneva amplitudi ja funktio [[$ \cos\left(Ct\right) $]] kuvaa puolestaan värähtelyn periodista vaihtelua.
Aineisto: 11.A Video: rakennuksen pienoismalli 11.B Mittaustulokset T11_B.cmbl
11.1
Kuinka suuri on pienoismallin värähtelyn taajuus? (5 p.)
Kuinka suuri on pienoismallin värähtelyn taajuus? (5 p.)
11.2
Yksi maanjäristyksen riskeistä on, että esineet rakennusten sisällä eivät pysy paikoillaan, vaan alkavat liukua ja aiheuttavat tuhoa. Tämän tutkimiseksi pienoismallin päälle asetetaan pieni laakea kivi, jonka massa on 21 g. Pysyykö kivi liukumatta paikallaan värähtelyn ajan? Oletetaan, että pienoismalli värähtelee samalla tavalla kuin ilman kiveä. (10 p.)
Yksi maanjäristyksen riskeistä on, että esineet rakennusten sisällä eivät pysy paikoillaan, vaan alkavat liukua ja aiheuttavat tuhoa. Tämän tutkimiseksi pienoismallin päälle asetetaan pieni laakea kivi, jonka massa on 21 g. Pysyykö kivi liukumatta paikallaan värähtelyn ajan? Oletetaan, että pienoismalli värähtelee samalla tavalla kuin ilman kiveä. (10 p.)
11.3
Missä ajassa värähtelijän kiihtyvyyden kunkin värähdyksen aikana saavuttama suurin arvo pienenee kahdeksasosaan? (5 p.)
Missä ajassa värähtelijän kiihtyvyyden kunkin värähdyksen aikana saavuttama suurin arvo pienenee kahdeksasosaan? (5 p.)
31.
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.