Luvuilla laskeminen

Matematiikassa keskeistä on laskemalla saada selville vastauksia kysymyksiin ja ratkaisuja erinäisiin pulmiin. Meillä kaikilla on sisäinen tarve järjestellä ja vertailla eri asioita keskenään, laittaa asioita järjestykseen ja pohtia onko jotain enemmän kuin jotain toista, tai kumpi kahdesta vaihtoehdosta olisi meille edullisempi. Ihminen on aina ollut keräilijä ja haluamme tietää paljonko meillä on omistamiamme asioita. Jo kivikaudella ihminen ryhtyi tekemään vaihtokauppaa ja alkeellinen laskutaito alkoi kehittyä.

Yhteenlasku ja vähennyslasku

Lukuja, joilla ilmaistaan kappalemäärää, kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi. Niitä voidaan laskea yhteen ja saatu vastauskin on aina luonnollinen luku. Yhteenlaskussa alkuperäinen luku kasvaa lisättävän luvun verran ja toimenpidettä kutsutaan yhteenlaskuksi. Kun jotain asiaa ei ole yhtään, voidaan lukujoukkoa laajentaa käsittämään myös lukumäärä nolla, eli ei mitään tai yhtään. Nollan lisääminen lukuun ei muuta lukua miksikään.

Joskus tulee tilanne, että haluamme ottaa tietyn määrän jostakin pois. Se ei onnistu mitenkään lisäämällä lukuun luonnollinen luku. Laajentamalla lukujoukkoa negatiivisilla luvuilla pääsemme myös vähentämään olemassa olevaa kappalemäärää. Negatiivisia lukuja merkitään luvun edessä olevalla miinusmerkillä.
Kun johonkin lukuun lisätään negatiivinen luku, saatu vastaus on lisätyn negatiivisen luvun verran pienempi kuin alkuperäinen luku. Tällaista toimenpidettä kutsutaan matematiikassa vähentämiseksi, eli vähennyslaskuksi.
[[$$8+(-3)=8-3=5$$]]

Kertolasku

Ihminen on laiska eläin, eikä mielellään tee samaa asiaa monta kertaa peräkkäin, vaan keksii jonkun keinon päästä helpommalla.





















Esimerkki 1.

Eräässä kylässä kyläpäällikkö määräsi kahdellesadallekolmellekymmenelle alamaiselleen, että jokaisen on tuotava päällikölle lahjaksi kahdeksan simpukankuorta, jotta jumalat olisivat suosiollisia. Kirjurin oli määrä raaputtaa kivitauluun tuotujen simpukankuorien lukumäärät. Laiska kirjuri ei jaksanut ryhtyä raapustamaan kahtasataakolmeakymmentä kertaa peräkkäin lukua kahdeksan
[[$$8+8+8+8+8+8+8+ ... +8+8=1840,$$]]
vaan otti käyttöön uuden lyhyemmän merkinnän, kertolaskun, ja kirjoittikin tauluun vain
[[$$230 \cdot 8=1840.$$]]

Kertolaskumerkinnässä oli lyhyen merkintätavan lisäksi toinenkin hyödyllinen ominaisuus: Nopealla vilkaisulla näki, että kaikki kyläläiset olivat tuoneet lahjansa.

Jakolasku

Kun halutaan selvittää kuinka moninkertainen joku luku on verrattuna toiseen lukuun, tai kuinka monta kertaa jokin luku sisältyy toiseen lukuun, käytetään jakolaskua.

Esimerkki 2.














Eräänä päivänä päällikkö päätti tarkistaa, olivatko kaikki kyläläiset tuoneet vaaditut lahjat yhteiseen kasaan. Kirjuri sai tehtäväkseen selvittää, kuinka moni kyläläinen oli tuonut vaaditut kahdeksan simpukankuorta. Kirjuri jakoi nopeasti simpukankuoret kahdeksaan eri kasaan.

Kun päällikkö ei ymmärtänyt, miten kahdeksan kasaa auttaa selvittämän kyläläisten lukumäärän, kirjuri selitti: "Jokainen kyläläinen laittoi tuomansa simpukankuoret kahdeksaan eri kasaan, yhden kuhunkin. Kaikissa kasoissa oli siis jokaiselta kyläläiseltä yksi simpukankuori."

Jakolaskun ja kertolaskun välinen yhteys

Tarkastellaan kyläläisten lukumäärään ja kahdeksaan kasaan liittyvän kertolaskun ja jakolaskun välistä yhteyttä.
Simpukankuoria oli yhteensä [[$1840$]] kappaletta:

[[$230 \cdot 8=1840$]]

Jokaisessa kasassa oli 230 simpukankuorta:

[[$1840:8=230$]]

Yksi kahdeksasosa luvusta [[$1840$]] on [[$230$]]:

[[$\frac{1}{8}\cdot 1840 = 230$]]

Yhdellä kahdeksasosalla kertominen on sama asia kuin kahdeksalla jakaminen. Tämä pätee yleisestikin, eli jakolasku on sama asia kuin käänteisluvulla kertominen. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on aina yhtä suuri kuin yksi. Tätä ominaisuutta sovelletaan esimerkiksi silloin, kun yhtälöä muokattaessa "kerrotaan nimittäjä pois".

[[$\frac{1}{8}\cdot 1840 = 230 \qquad\|\cdot 8\\8\cdot\frac{1}{8}\cdot 1840=230\cdot 8\\ 1840 = 230 \cdot 8 $]]