Valtakunnalliset valinnaiset opinnot
MAB8 Matemaattinen analyysi (2 op)
Tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin
- ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
- osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla
- osaa määrittää sovellusten yhteydessä polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion kulun tutkimisessa sekä funktion derivaatan ja suljetun välin ääriarvojen määrittämisessä sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
- graafisia ja numeerisia menetelmiä
- polynomifunktion derivaatta
- polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen
- polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä
- funktion muutosnopeuden määrittäminen ohjelmistojen avulla
Tarkennuksia sisältöihin
- Funktion muutosnopeus. Keskimääräinen ja hetkellinen muutosnopeus: polynomifunktion kuvaajalle piirretyn sekantin ja tangentin kulmakertoimen laskeminen kahden pisteen avulla likimääräisesti kuvaajasta. Keskimääräisen muutosnopeuden laskeminen lausekkeen avulla. Ei kasvua, vakiokasvu, kiihtyvä tai hidastuvakasvu. Funktion kasvavuuden ja vähenevyyden havainnointi kuvaajasta.
- Derivaatta. Havainnollisesti esiteltynä ilman täsmällistä määritelmää; derivaatan yhteys muutosnopeuteen ja tangenttiin. Polynomifunktion derivointi ja derivaatan arvon laskeminen. Käytännön maksimointi- ja minimointiongelmia mm. geometrian ja talouden aloilta.
Ohjelmistotaidot
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja määrittämään funktion keskimääräisen muutosnopeuden
- oppii piirtämään funktion kuvaajalle tangentin ja määrittämään funktion muutosnopeuden (graafinen derivointi) sekä havainnoimaan funktion kasvavuutta graafisesti (kuvaajalle piirretyn tangentin avulla)
- harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvon laskemiseen)
- osaa derivoida funktion ja laskea derivaatan arvon sekä ratkaista nollakohdat symbolisesti
- osaa selvittää derivaattafunktion merkin kuvaajan perusteella (polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa)
Laaja-alainen osaaminen
- Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
- Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.
Ehdotuksia soveltuvista työskentelytavoista
Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä ja laborointityötä.
Opintojakson arviointi
Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla rohkaistaan opiskelijoita myös itse- ja vertaisarvioinnin pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.
Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen, tuntiaktiivisuuteen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.
Arviointiasteikko on numeroarviointi (4-10).
MAB9 Tilastolliset ja todennäköisyysjakaumat (2 op)
Tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- tutustuu normaalijakaumaan matemaattisena mallina
- tutustuu binomijakaumaan matemaattisena mallina
- vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittely- ja tutkimustaitojaan ohjelmistojen avulla
- tietää, kuinka lasketaan tilastollisiin jakaumiin liittyviä tunnuslukuja ja todennäköisyyksiä, ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla
- ymmärtää luottamusvälin ja virhemarginaalin käsitteen ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla.
Keskeiset sisällöt
- normaalijakauma ja jakauman normittamisen käsitteet (odotusarvo ja keskihajonta)
- toistokoe
- binomijakauma
- luottamusvälin ja virhemarginaalin käsite
Tarkennuksia sisältöihin
- Opintojaksolla vahvistetaan MAB5-opintojakson sisältöjen hallintaa: todennäköisyyslaskennan periaatteita (erityisesti todennäköisyyden laskusäännöt binomitodennäköisyyden yhteydessä) sekä tilastojen käsittelytaitoja. Opintojaksossa voidaan keskittyä MAB5-opintojakson sisältöjen vahvistamiseen ja täydentämiseen tai painottaa keskeisiä uusia malleja. Opintojakson sisältöjä voi olla luontevaa yhdistää esimerkiksi psykologiaan (tilastollisen tutkimuksen periaatteet). Opintojakso voidaan toteuttaa esimerkiksi tutkimus- ja projektitöiden muodossa.
- Binomijakauma. Toistokoe ja binomitodennäköisyyden laskukaavan tunteminen. Binomijakauma, odotusarvo ja keskihajonta. Kertymätodennäköisyys.
- Normaalijakauma. Jakauman perusominaisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja normaalijakauma-mallin käyttö sovelluksissa. Kertymätodennäköisyys ja kertymäfunktio. Normittaminen ja kahden normaalijakauman vertailu. Normitettu normaalijakauma ja luottamusvälin käsite, kriittiset arvot. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.
- Tilastollinen päättely. Käsitellään tiedotusvälineissä esille tulevaa ajankohtaista tilastollista informaatiota. Perusjoukko, jonka tunnuslukuja (keskiarvoa ja suhteellista osuutta) arvioidaan otoksesta laskettujen tunnuslukujen avulla muodostamalla luottamusväli. Keskiarvon keskivirheen laskeminen. Luottamustaso ja sen vaikutus luottamusväliin. Virhemarginaali. Luottamusvälin muodostamisen perusperiaate: on tunnettava otoskoko, otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta tai suhteellinen osuus otoksessa, luottamustaso ja siihen liittyvä kriittinen arvo. Teoreettiset perustelut luottamusvälin muodostamiselle (otoksen keskiarvo ja prosenttiosuus ovat likimain normaalijakautuneita) voidaan sivuuttaa. Tilastollinen testaus ei kuulu opintojakson keskeisiin sisältöihin.
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- vahvistaa opintojaksossa MAB5 hankkimiaan tilastojen käsittelyyn ja kuvaamiseen liittyviä taitojaan: tunnuslukujen laskemista ja todennäköisyyksien määrittämistä
- osaa laskea kombinaatioita (binomitodennäköisyys)
- oppii esittämään binomijakauman graafisesti sekä määrittämään jakauman tunnusluvut (odotusarvon ja keskihajonnan)
- oppii piirtämään normaalijakauma-kuvaajia
- oppii määrittämään binomijakaumaan ja normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä sekä ratkaisemaan käänteisen tilanteen
- oppii ratkaisemaan normaalijakauman tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät edellytä jakauman normittamista
- tuntee luottamusvälin määrittämisessä tarvittavat suureet ja osaa määrittää ne sekä luottamusvälin.
Laaja-alainen osaaminen
- Monitieteinen ja luova osaaminen: Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.
- Yhteiskunnallinen osaaminen: Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.
- Vuorovaikutusosaaminen: Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita. Opiskelijoita kannustetaan myös tehtävätyyppien ja tehtävänantojen avulla keskusteluun keskenään, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.
- Eettisyys ja ympäristöosaaminen: Opetustilanteissa pohditaan, kuinka matematiikan taitoja voidaan hyödyntää kestävään kehitykseen ja ihmiskuntaan liittyvien ongelmien ratkaisussa.
Ehdotuksia soveltuvista työskentelytavoista
Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä, uutisseurantaa, tutkimustehtävää ja esitelmää.
Opintojakson arviointi
Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla rohkaistaan opiskelijoita myös itse- ja vertaisarvioinnin pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.
Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen, tuntiaktiivisuuteen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.
Arviointiasteikko on numeroarviointi (4-10).