Kpl. 2.1

2.1 Funktion raja-arvo

Esim, Tutki, mitä lukua funktion $f\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{x-2}{,}\ x\ne2$ arvot lähestyvät, kun x lähestyy arvoa x=2

Lasketaan f(x):n arvoja, kun lähestyy lukua 2 alapuolelta ja yläpuolelta.

$\begin{array}{l|l} x&f\left(x\right)\\ \hline 1{,}9&5{,}7\\ 1{,}99&5{,}97\\ 1{,}999&5{,}997\\ 2{,}1&6.3\\ 2{,}01&6{,}03\\ 2{,}001&6{,}003 \end{array}$

V: Funktion arvot lähestyvät lukua 6, kun x lähestyy lukua 2.

Määritelmä:

Funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arv lähestyy lukua b, kun x lähestyy lukua a

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a$

Edellä siis

$\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=6\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow6{,}\ kun\ x\rightarrow2$

Esim. Määritä raja-arvo, kun x→5

$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-2}{,}\ x\ne2$

$\lim_{x\rightarrow5}\frac{3x+2}{x-2}=\frac{3\cdot5+2}{5-2}=\frac{17}{3}$

$f\left(x\right)=\frac{-2x^2+10x}{x-5}\ x\ne5$

Sijoitetaan x=5 funktion lausekkeeseen

$\frac{-2\cdot5^2+10\cdot5}{5-5}=\frac{0}{0}$

Tulos tarkoittaa, että x=5 on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta. Sis sekä osoittaja että nimittäjällä on tekijä x-5, joten f(x):n lauseketta voi sieventää.

$\lim_{x\rightarrow5}\frac{-2x^2+10x}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}\frac{\left(x-5\right)\left(-2x\right)}{x-5}=\lim_{x\rightarrow5}-2x=-2\cdot5=-10$

$f\left(x\right)=\frac{3x-10}{x-5}{,}\ x\ne5$

Sijoitetaan x=5 funktion lausekkeseen:

$\frac{3\cdot5-10}{5-5}=\frac{5}{0}$

Jos sijoitus antaa muodon $\frac{a}{0}{,}\ a\ne0$ , niin raja-a rvo ei ole olemassa.