2.1 Haarukointi ja ratkaisujen lukumäärä

Bolzanon lause

Jos funktio f on jatkuva suljetulal välillä [a, b] ja välin päätepistearvot f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, niin funktiolla f on ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[.

221.

$f\left(x\right)=e^{2x}-2x-2$

Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla
$f'\left(x\right)=2e^{2x}-2$

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat

$2e^{2x}-2=0{,}\ kun\ x=0\left(laskin\right)$

$f'\left(1\right)\approx$

Kulkukaavio

$\begin{array}{l|l} &&0&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow\\ &&\min& \end{array}$

Kun x<0, funktio on vähenevä. Täälöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.

Kun x>0, funktio on kasvava. Tällöin funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta.

Funktiolla voi olla korkeintaan kaksi nollakohtaa.

Funktion kuvaaja perusteella nollakohdat ovat väleillä [-1,0] ja [0,1].

$f\left(-1\right)\approx0{,}14>0$

$f\left(0\right)=-1<0$
$f\left(1\right)\approx3{,}39>0$

Funktio f on jatkuva, joten sillä on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä ]-1,0[ ja välillä ]0,1[. Siten funktiolla on ainakin kaksi nollakohtaa.

Funktiolla f on korkeintaan 2 nollakohtaa ja ainakin 2 nollakohtaa, joten sillä on täsmälleen 2 nollakohtaa

Selvitetään välillä [-1,0] oleva nollakohta haarukoimalla.

Kaikki luvut väliltä ]-0,925;-0,92[ pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella arvoon -0,92 eli tämä on kysytty nollakohta.

Selvitetään välillä ]0,1[ oleva nollakohta puolitusmenetelmällä.

Kysytty nollakohta on 0,57.

V: Kaksi nollakohtaa $x\approx0{,}92\ ja\ x\approx0{,}57$