Säteilyn voimakkuutta ilmaisee suure intensiteetti [[$I$]], joka tarkoittaa sen tehoa [[$P$]] pinta-alaa [[$A$]] kohden:

[[$\qquad I=\dfrac{P}{A}$]]

Kappaleen lähettämän säteilyn intensiteetti riippuu toisaalta sen pinnan lämpötilasta Stefan-Bolzmannin lain mukaisesti:

[[$\qquad I=\sigma T^4$]].

Kaavassa [[$T$]] on kappaleen pinnan absoluuttinen lämpötila ja [[$\sigma$]] on vakio, jonka arvo on [[$5{,}67\cdot10^{-8} \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4}$]]. 

1. Auringon pintalämpötila on noin 5 770 K. Laske tämän perusteella säteilyn intensiteetti Auringon pinnalla, eli säteilyn teho (W) pinta-alayksikköä (m²) kohden.
2. Auringon säteily leviää tasaisesti joka suuntaan. Näin ollen sen intensiteetti heikkenee etäisyyden kasvaessa ja on Maan etäisyydellä Auringosta 1 361 W/m². Laske Maahan osuvan säteilyn kokonaisteho. 
3. Maan pinta säteilee myös Stefan-Bolzmannin lain mukaisesti. Maa on säteilytasapainossa, eli säteilee yhtä paljon energiaa kuin vastaanottaa. Maa heijastaa 39 % Auringon säteilyn energiasta ja vastaanottaa loput. Laske näiden tietojen perusteella, mikä olisi Maan pinnan lämpötila, jos ilmakehää ei olisi.

 

Ratkaisu:

a. Intensiteetti saadaan suoraan Stefan-Bolzmannin laista:

[[$\quad I=\sigma T^4=5{,}67\cdot 10^{-8}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4}\cdot\left(5\,770\text{ K}\right)^4=6{,}284\dotso\cdot 10^7\text{ W/m}^2\approx 6{,}3\cdot 10^{7}\text{ W/m}^2$]]

b. Maan pinta-ala Auringosta katsottuna on Maan säteisen kiekon pinta-ala. Maahan osuvan säteilyn kokonaisteho saadaan kertomalla intensiteetti pinta-alalla. Maan säde on 6 378,137 km. Tehoksi saadaan

[[$\quad P=IA=1\,361\text{ W/m}^2\cdot\pi\cdot\left(6\,378\,137\text{ m}\right)^2=1{,}739\dotso\cdot 10^{17}\text{ W}\approx 1{,}7\cdot 10^{17}\text{ W}$]]

c. Maa heijastaa 39 % Auringosta tulevasta säteilystä, eli vastaanottaa 61 %. Ollakseen säteilytasapainossa, Maan on säteiltävä tämä teho pois. Koska Maan pinta-ala on tiedossa, voidaan laskea intensiteetti:

[[$\quad I=\dfrac{P}{A}=\dfrac{P}{4\pi r^2}$]]

Tässä säteiltävä teho on 61 % b-kohdassa lasketusta tehosta.

Pinnan lämpötila saadaan intensiteetin avulla ratkaistua Stefan-Bolzmannin laista:

[[$\quad\begin{align}I&=\sigma T^4 &&||:\sigma \\ \, \\ \dfrac{I}{\sigma}&=T^4&&||\sqrt[4]\\ \, \\ \sqrt[4]{\dfrac{I}{\sigma}}&=T&& \end{align}$]]

Kun tähän sijoitetaan aiemmin todettu intensiteetti, saadaan laskettua lämpötila:

[[$\quad\begin{align}T&=\sqrt[4]{\dfrac{I}{\sigma}}=\sqrt[4]{\dfrac{P}{4\pi r^2\sigma}}\\ \, \\&=\sqrt[4]{\dfrac{0{,}61\cdot 1{,}74\cdot 10^{17}\text{ W}}{4\pi\left(6\,378\,137\text{ m}\right)^2\cdot 5{,}67\cdot 10^{-8}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4}}}\\ \, \\ &=245{,}9\dots\text{K}\approx 250\text{ K}\end{align}$]]