Kpl.2

2-3

a) Gravitaati voima

b) Istuimen ketjujen jännitysvoima, kitka

c) Lepokitka

2-4

a) Tosi

b) Epätosi

c) Epätosi

2-5

$v=75\ \frac{km}{h}$

$r_1=320m=0{,}32km$

$r_2=550m=0{,}55km$

$a_{n_1}=\frac{v^2}{r_1}=\frac{75\ \frac{km}{h}}{0{,}32\ km}=17578{,}125$

$a_{n_2}=\frac{v^2}{r_2}=\frac{75\ \frac{km}{h}}{0{,}55\ km}=10227{,}27273\$

V: A:ssa on suurempi

2-6

$m=1200\ kg$

$r=22m=0{,}022km$
$v=18\ \frac{km}{h}=5\ \frac{m}{s}$

Koska ilmavastus on pieni, autoon vaikuttava kokonaisvoima on $\Sigma\overline{F}=\overline{G}+\overline{N}+\overline{F}_{\mu}$ . Koska pinta on vaakasuora, pinnan tukivoima $\overline{N}$ ja autoon kohdistuva paino $\overline{G}$ ovat yhtä suuret ja vastakkaisuunatiset, joten ne kumoavat toisensa. Kitka $F_{\mu}=\mu N=\mu mg$ pitää auton ympyräradalla. Newtonin II lain mukaan jään pinnan suunnassa on

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ eli $\overline{F}_{\mu}=m\overline{a}_n$ . Koska sekä kitka että normaalikiihtyvyys suuntautuvat kohti ympyräradan keskipistettä, yhtälöstä $F_{\mu}=ma_n$ eli $\mu mg=m\frac{v^2}{r}$ saadaan kitkakertoimeksi

$\mu=\frac{v^2}{rg}=\frac{\left(5\ \frac{m}{s}\right)^2}{22m\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}=0{,}1158372718$

$F_{\mu}=\mu N=\mu mg=0{,}1158372718\cdot1200kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1363{,}636364...\approx1400N=1{,}4kN$

Pysyy, koska saattu kitka on suurempi kuin 1,4kN

2-9

$d=1{,}4m{,}\ r=0{,}7m$

$l=0{,}9m$
$m=0{,}200\ kg$

Oletetaan ilmanvastus pieneksi.

Koneeseen vaikuttavat voimat ovat langan jännitysvoima $\overline{T}$ ja paino $\overline{G}$

Langan jännitysvoiman vaakasuuntaan komponentti itä koneen ympyräradalla ja antaa sille normaalikiihtyvyyden $\overline{a}_n$

Newtonin II-lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

y-suunnassa: $\Sigma\overline{F}=\overline{0}$ eli

$\overline{G}+\overline{T}_y=\overline{0}$

Paino ja langan jännitysvoima pusyusiinyaonen kompenentti ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, joten ne kumoavat toisensa.

x-suunnassa: $\overline{T}_x=m\overline{a}_n$

$T_x=ma_n$
$T_x=m\frac{v^2}{r}$
$rT_x=mv^2$
$\frac{rT_x}{m}=v^2$
$v=\pm\sqrt[]{\frac{rT_x}{m}}$ (hyl. neg. tulos)

Ratkaistaan $T_x$ suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla.

Ratkaistaan kulma α

$\cos\alpha=\frac{r}{l}=\frac{0{,}7m}{0{,}9m}$

$\alpha=38{,}94244...\approx38{,}9424°$

Suunnat huomioiden saadaan

$G=T_y$

$\tan\alpha=\frac{G}{T_x}$
$T_x=\frac{G}{\tan\alpha}=\frac{mg}{\tan\alpha}=\frac{0{,}200\ kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}{\tan\ 38{,}9424}=2{,}427854...\approx2{,}42785N$

$v=\sqrt[]{\frac{rT_x}{m}}=\sqrt[]{\frac{0{,}7\ m\cdot2{,}42785\ N}{0{,}200\ kg}}=2{,}9\ \frac{m}{s}$

2-10

Laskijan liikeyhtälö on $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ eli $\overline{N}+\overline{G}=m\overline{a}_n$

Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälöstä $N-G=\frac{mv^2}{r}$ rinteen tukivoiman suurudeksi alimmassa kohdassa saadaan

$N=\frac{mv^2}{r}+G=\frac{mv^2}{r}+mg=\frac{82\ kg\cdot\left(\frac{45}{3{,}6}\ \frac{m}{s}\right)^2}{22m}+82kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1386{,}806...\approx1400N=1{,}4kN$

Rinteestä laskijan jalkoihin kohdistuvan voiman suuruus on yhtä suuri kuin rinteen tukivoiman suuruus eli 1,4kN