Luku 5

501
$\overline{DP}=\frac{1}{2}\overline{u}+\overline{v}$

$\overline{DQ}=\overline{u}+\frac{3}{7}\overline{v}$

502
a)

$A=\left(2{,}1\right)$

$B=\left(-3{,}-5\right)$
b)
$\overline{AB}=\left(-3-2\right)\overline{i}+\left(-5-2\right)\overline{j}=-5\overline{i}-7\overline{j}$

503

$\left(4-2\right)\overline{i}+\left(1+3\right)\overline{j}+\left(-7+5\right)\overline{k}=2\overline{i}+4\overline{j}-2\overline{k}$

$\left|\overline{a}-\overline{b}\right|=\sqrt[]{2^2+4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt[]{6}$

504
Pisteen A paikka vektori on

$\overrightarrow{OA}=\overline{i}-\overline{j}$

$\overline{i}-2\overline{j}+2\overline{k}=\overline{a}$

Määritetään vektorin $\overline{a}$ yksikkävektoria
$\overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\left|\overline{a}\right|}=\frac{\overline{i}-2\overline{j}+2\overline{k}}{\sqrt[]{1^2+\left(-2\right)^2+2^2}}=\frac{\overline{i}-2\ \overline{j}+2\overline{k}}{\sqrt[]{9}}=\frac{\overline{i}-2\ \overline{j}+2\overline{k}}{3}=\frac{1}{3}\overline{i}-\frac{2}{3}\overline{j}+\frac{2}{3}\overline{k}$

Lasketaan vektoreiden summa

$OA+9\overline{a}^0=\left(\overline{i}-\overline{j}\right)+9\left(\frac{1}{3}\overline{i}-\frac{2}{3}\overline{j}+\frac{2}{3}\overline{k}\right)=\left(\overline{i}-\overline{j}\right)+\left(3i-6\overline{j}+6\overline{k}\right)$

$=\left(1+3\right)\overline{i}+\left(-1-6\right)\overline{j}+6\overline{k}$
$=4\overline{i}-7\overline{j}+6\ \overline{k}$

Määritetään vektori $\overline{b}$ yksikkövektoria

$\overline{b}^0=\frac{\overline{b}}{\left|\overline{b}\right|}=\frac{3\overline{i}-4\overline{k}}{\sqrt[]{3^2+\left(-4\right)^2}}=\frac{3\overline{i}-4\overline{k}}{\sqrt[]{25}}=\frac{3}{5}\overline{i}-\frac{4}{5}\overline{k}$

Lasketaan edellisien vektoreiden ja $\overline{b}^0$ summa

$\left(4\overline{i}-7\overline{j}+6\overline{k}\right)+10\left(\frac{3}{5}\overline{i}-\frac{4}{5}\overline{k}\right)=\left(4\overline{i}-7\overline{j}+6\overline{k}\right)+\left(6\overline{i}-8\overline{k}\right)$

$=\left(4+6\right)\overline{i}-7\overline{j}+\left(6-8\right)\overline{k}$
$=10\overline{i}-7\overline{j}+-2\overline{k}$

$C=\left(10{,}-7{,}-2\right)$

506

Kolmio on tasankylkinen, jos sillä on kaksi samanpituista sivua

Lasketaan kolmion sivujen pituudet

$\overline{AB}=\left(2-3\right)\overline{i}+\left(2-4\right)\overline{j}+\left(-5-5\right)\overline{k}=-\overline{i}-2j-10\overline{k}$

$\left|\overline{AB}\right|=\sqrt[]{\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2+\left(-10\right)^2}=\sqrt[]{105}$

$\overline{BC}=\left(-3-2\right)\overline{i}+\left(-2-2\right)\overline{j}+\left(3+5\right)\overline{k}=-5\overline{i}-4\overline{j}+8\overline{k}$
$\left|\overline{BC}\right|=\sqrt[]{\left(-5\right)^2+\left(-4\right)^2+8^2}=\sqrt[]{105}$

$\overline{AC}=\left(-3-3\right)\overline{i}+\left(-2-4\right)\overline{j}+\left(3-5\right)\overline{k}=-6\overline{i}-6\overline{j}-2\overline{k}$
$\left|\overline{AC}\right|=\sqrt[]{\left(-6\right)^2+\left(-6\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt[]{76}=2\sqrt[]{19}$

Laskun mukaan $\overline{ }$

$\left|\overline{AB}\right|=\left|\overline{BC}\right|$

Joten kolmio on tasankylkinen

Lasketaan vektorien muodostuma kulman suuruus

Huom. koska vektorit eivät lähtevät samasta pisteestä, vektoria $\overline{AB}$ on muutettava vektoriksi $\overline{BA}$

ja $\overline{BA}=-\overline{AB}$

$\sphericalangle\left(\overline{BA}{,}\overline{BC}\right)=$

$\cos^{-1}\left(\frac{\overline{BA}\cdot\overline{BC}}{\left|\overline{AB}\right|\left|BC\right|}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{1\cdot\left(-5\right)+2\cdot\left(-4\right)+10\cdot\left(8\right)}{105}\right)=50{,}35...\approx50{,}4°$

508

$\overline{a}=4\overline{i}-2\overline{j}$
$\overline{b}=-3\overline{i}+\overline{j}$
$\overline{c}=d\overline{i}+\left(d+1\right)\overline{j}$

$\overline{a}+\overline{c}=\overline{b}+\overline{c}$

$\overline{a}+\overline{c}=\left(4+d\right)\overline{i}+\left(d+1-2\right)\overline{j}=\left(4+d\right)\overline{i}+\left(d-1\right)\overline{j}$

$\overline{b}+\overline{c}=\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+1+1\right)\overline{j}=\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+2\right)\overline{j}$

Oletetaan, että
$\overline{a}+\overline{c}=\overline{A}$
$\overline{b}+\overline{c}=\overline{B}$

Vektorit ovat samansuuntaiset, jos niillä on olemassa sellainen luku t, joka on suurempi kuin 0, ja saa tuloksi

$\overline{B}=t\overline{A}$

Määritetään luku t

$\left(-3+d\right)\overline{i}+\left(d+2\right)\overline{j}=\left(4+d\right)t\overline{i}+\left(d-1\right)t\overline{j}$

$\begin{cases} -3+d=\left(4+d\right)t\\ d+2=\left(d-1\right)t \end{cases}$

$t=−1\ tai\ t=-\frac{1}{2}$ (laskin)

Koska t:n arvot ovat aidosti negatiivisia, vektorit eivät ole koskaan samansuuntaisia.