Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Radiopuhelimen akkua ladattiin auton akulla, jonka jännite oli 12,4 V ja sisäinen resistanssi 0,40 Ω​. Radiopuhelimen akun lähdejännite oli 6,4 V ja sisäinen resistanssi 0,50 Ω​. Latausvirtaa rajoitettiin kytkemällä akkujen kanssa sarjaan 12 Ω​:n vastus.
  1. Piirrä latauksen kytkentäkaavio.
  2. Ratkaise sähkövirran suuruus.
  3. Kuinka suurella teholla akkuun siirtyi energiaa latauksen aloitushetkellä?


Ratkaisu

a. Piirretään kytkentäkaavio.


b. Kirchhoffin II lain mukaan potentiaalimuutosten summa suljetussa piirissä on nolla.

[[$ \begin{align*} E_2-R_{\text{S}2}I-RI-R_{\text{S}1}I-E_1&=0 \\\,\\ E_2-E_1&=R_{\text{S}2}I+RI+R_{\text{S}1}I \\ \,\\ E_2-E_1&=(R_{\text{S}2}+R+R_{\text{S}1})I\\ \,\\ I&=\dfrac{E_2-E_1}{R_{\text{S}2}+R+R_{\text{S}1}}\\ \,\\ I&=\dfrac{\text{12,4 V}-\text{6,4 V}}{\text{0,4 } \Omega+22\textrm{ } \Omega+\text{0,5 } \Omega} =\text{0,2620} \dots \text{ A} \approx \text{0,26 A} \end{align*} $]]​

Sähkövirta piirissä on 0,26 A.

c. Akkuun siirtyvä teho lasketaan sähkötehon määritelmän mukaan.

​[[$ P=EI= \text{6,4 V} \cdot \text{0,262 A} = \text{1,6768 W} \approx \text{1,7 W} $]]​

Energiaa siirtyy akkuun 1,7 W:n teholla.


Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

Ratkaise virtapiirissä kulkevat sähkövirrat ja vastuksen [[$ R_3 $]] tehonkulutus, kun [[$ U_1 $]] = 6,0 V; [[$ U_2 $]] = 9,0 V; [[$ R_1 $]] = 30 Ω; [[$ R_2 $]] = 20 Ω; [[$ R_3$]] = 48 Ω.

Ratkaisu

Tehdään oletus sähkövirtojen kulkusuunnista ja kirjoitetaan piiriä kuvaavat Kirchhoffin lakien mukaiset yhtälöt.

Kirchhoffin I laki

[[$ \quad I_1+I_3=I_2 $]]​

Kirchhoffin II laki

[[$ \quad U_1-I_2R_3-I_1R_1=0 $]]​

[[$ \quad U_2-I_2R_3-I_3R_2=0 $]]​

Huom. Voitaisiin myös kirjoittaa yhtälö

​[[$ \quad U_1-U_2+I_3R_2-I_1R_1=0 $]]​.

Tällöin kuljetaan vastapäivään lenkissä, jossa ovat paristot [[$ U_1 $]] ja [[$ U_2 $]]. Napajännite [[$ U_2 $]] on negatiivinen, koska siirrytään korkeammasta potentiaalista alempaan potentiaaliin. Vastuksessa tapahtuu aina tehonkulutus. Kun kuljetaan valittua sähkövirran suuntaa vastaan, siirrytään vastuksessa 2 alhaisemmasta potentiaalista korkeampaan potentiaaliin. Vastuksessa 2 tapahtuva potentiaalin muutos on tällöin positiivinen.

Joulen laki

​[[$ \quad P=R_3I_2^2 $]]​

Ratkaistaan yhtälöryhmä sopivaa laskentaohjelmaa käyttäen.

​[[$ \begin{equation} \begin{cases} I_1+I_3=I_2\\ U_1-I_2R_3-I_1R_1=0\\ U_2-I_2R_3-I_3R_2=0\\ P=R_3I_2^2 \end{cases} \end{equation} $]]​

[[$ U_1 = \textrm{6,0 V}\\ U_2 = \textrm{9,0 V}\\ R_1 = 30\textrm{ } \Omega\\ R_2 = 20\textrm{ } \Omega\\ R_3 = 48\textrm{ } \Omega $]]​

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I_1+I_3=I_2\\ \textrm{6,0 V}-48 \textrm{ }\Omega \cdot I_2-30 \textrm{ }\Omega \cdot I_1=0\\ \textrm{9,0 V}-48 \textrm{ }\Omega \cdot I_2-20 \textrm{ } \Omega \cdot I_3=0\\ P=48 \textrm{ }\Omega \cdot I_2^2 \end{cases} \end{equation} $]]​

Ratkaisuksi saadaan

[[$ I_1 = -0,008\textrm{ A} = -8 \textrm{ mA}\\ I_2 = 0,13\textrm{ A} = 130 \textrm{ mA}\\ I_3 = 0,138\textrm{ A} = 140 \textrm{ mA}\\ P = 0,914\dots\textrm{W} \approx \textrm{0,91 W} $]]​

Virran 1 negatiivisuus merkitsee, että se kulkee eri suuntaan kuin kuvassa aluksi oletettiin.

Virtapiirissä kulkevat sähkövirrat: [[$ I_1 $]] on 8 mA, [[$ I_2 $]]  130 mA ja [[$ I_3 $]] 140 mA. Vastuksen [[$ R_3 $]] tehonkulutus on noin 0,91 W.


Takaisin

Esimerkin 3 ratkaisu

Taskulaskin toimii kolmella rinnankytketyllä 1,5 voltin paristolla, joiden sisäinen resistanssi on 0,65 Ω​. Yksi paristoista kytketään epähuomiossa väärinpäin. Paristot kuormittavat tällöin toisiaan, vaikkei niitä ole kytketty muihin komponentteihin. Kuinka suurella teholla paristot lämpenevät?

Ratkaisu

Paristot synnyttävät piiriin sähkövirrat, jotka voidaan ratkaista Kirchhoffin lakien perusteella.


Kirchhoffin I lain mukaan sähkövirroille pätee: [[$ I_1+I_2=I_3 $]]
Kirchhoffin II lain mukaan voidaan muodostaa yhtälöt:

[[$ E-R_\text{S}I_1-R_\text{S}I_3+E=0 $]] ja
[[$ E-R_\text{S}I_2-R_\text{S}I_3+E=0 $]]

Muodostettu kolmen yhtälön ryhmä voidaan ratkaista laskinohjelmistolla. Lähdejännitteen ja sisäisen resistanssin arvot ovat [[$ E=\text{1,5 V} $]]​ ja [[$ R_s=\text{0,65 } \Omega $]].
Sähkövirtojen suuruudet ovat [[$ I_1=I_2 \approx \text{1,538 A} $]] ja [[$ I_3 \approx \text{3,077 A} $]]

Vastukset tuottavat tehoa Joulen lain mukaan, [[$ P=RI^2 $]]. Lasketaan kokonaisteho.

[[$ \begin{align*}P_{\text{KOK}}&=R_\text{S}{I_1}^2+R_\text{S}{I_2}^2+R_\text{S}{I_3}^2 \\ \, \\ &=\textrm{0,65 } \Omega \cdot (\textrm{1,538 A})^2+\textrm{0,65 } \Omega \cdot (\textrm{3,077 A})^2+\textrm{0,65 } \Omega \cdot (\textrm{1,538 A})^2 \\ \, \\ &= \textrm{9,22}\dots\text{ W} \approx \textrm{9,2 W} \\ \end{align*} $]]​

Paristot lämpenevät 9,2 W:n teholla.


Takaisin