Kpl 4.1

401

a) 13,23

b) Pienempi

403

3.1, vähittäin 91 osaväliä

408

$A\approx21{,}5$

411

$A\approx16{,}5$

405.

$f\left(x\right)=-x^2+8x-7$

Lasketaan kuvaajan ja x-akselin leikkauskodat.

$-x^2+8x-7=0$

$x=1\ tai\ x=7\ \left(laskin\right)$

Suorakulmioita on 3 kpl eli n=3

Yhden osavälin pituus eli suorakulmion leveys on

$h=\frac{7-1}{3}=\frac{6}{3}=2$

Osavälit ovat [1,3] [3,5] [5,7].

Osavälien keskipisteet ovat

$\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

$\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$

$\frac{5+7}{2}=6$

Suorakulmion korkeudet ovat fubktiob arvot välien keskpisteissä eli

$f\left(2\right){,}\ f\left(4\right)\ ja\ f\left(6\right)$
$A\approx2f\left(2\right)+2f\left(4\right)+2f\left(6\right)=38$

421

$f\left(0\right)=-5{,}\ f\left(2\right)=-9{,}\ f\left(4\right)=-5$

a) Kuvaaja on x.akselin alapuolella, joten suorakulmioiden korkeudet ovat funktion arvojen vastalukuja. Suorakulmioiden leveys on 2.

$A\approx2\left(-f\left(0\right)-f\left(2\right)-f\left(4\right)\right)=2\left(5+9+5\right)=38$

b) Määrätty integraali on negatiivinen, koska kuvaaja on x-akselin alapuolella.

$\int_{-1}^5x\left(dx\right)\approx-A=-38$

423

a)

$\int_0^2f\left(x\right)dx=-A2=-2$

b)

$\int_{-2}^3f\left(x\right)dx=A1-A2+A3=4\frac{1}{3}-2+\frac{1}{2}=2\frac{5}{6}$

c)

$\int_{-2}^3\left|f\left(x\right)\right|dx=A1+A2+A3=6\frac{5}{6}$

426

$-0{,}52$

427

$A\left[0{,}\pi\right]\approx3{,}28987$
$A\left[\pi{,}2\pi\right]\approx-9.67144$

$h_1=\frac{\pi-0}{2}=\frac{\pi}{2}$

$A_1\approx\frac{\pi}{2}f\left(\frac{\pi}{2}\right)\approx2.467$
$h_2=\frac{\ 2\pi-\pi}{2}=\pi$
$A_2\approx\pi f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=$