Logaritmi

Logaritmi

Määritelmä

Olkoon $a>0{,}\ a\ne1\ \text{ja}\ b>0$ . Logaritmi $\log_ab$ tarkoittaa lukua x, joka toteuttaa eksponenttiyhtälön $a^x=b$ eli
$\log_ab=x\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ a^x=b$

Esim. Ratkaise $2^x=8$ .
Tapa 0. Toimii vain sopivilla luvuilla.

$2^x=8$

$2^x=2^3$
$x=3$

Tapa 1.
"2-kantainen potenssi on 8, joten kysytty eksponentti x on 2-kantainen logaritmi 8:sta"
$x=\log_28$
Yhtälön ratkaisu on x = 3.

Tapa 2.
Potenssiinkorotus ja logatrimi "kumoavat toisensa".

$2^x=8$ || $\log_2\left(\right)$

$\log_2\left(2^x\right)=\log_2\left(8\right)$

$x=3$

ja:

$\log_2x=3$ || $2^{\left(\right)}$

$2^{\log_2x}=2^3$

$x=8$

Esim 1. Ratkaise
a) $2^x=11$
b) $5\cdot4^{3x}=30$
c) $\log_5x=4$

Esim 2. Määritä
a) $\log_327$
b) $\log_2\frac{1}{16}$
c) $\log_41$
d) $\log_5\sqrt{5}$

Logaritmien laskusäännöt

$\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay$
$\log_ax^r=r\log_ax$

Esim 3.
Sievennä
a) $\log_672-\log_62$
b) $\log_2\sqrt[3]{16}$

Vastaukset

a)

$2^x=11$
$x=\log_211\ \left(\approx3.459...\right)$

b)
$5\cdot4^{3x}=30$

$4^{3x}=6$

$3x=\log_46$
$x=\frac{\log_46}{3}\ \ \left(\approx0{,}4308...\right)$

c)

$\log_5x=4$

$x=5^4$
$x=625$

2. a) $\log_327=3$ || $3^x=27$

b) $\log_2\frac{1}{16}=-4$ || $2^x=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$

c) $\log_41=0$ || 4^0 = 1

d)

$\log_5\sqrt{5}=\log_55^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

esim 3.

a) $\log_672-\log_62=\log_6\left(\frac{72}{2}\right)=\log_636=2$

b)

$\log_2\sqrt[3]{16}=\log_216^{\frac{1}{3}}=\log_2\left(2^4\right)^{\frac{1}{3}}=\log_2\left(2^{\frac{4}{3}}\right)=\frac{4}{3}$