Valtakunnalliset valinnaiset opinnot
3D-geometria (MAA10)
Yleiset tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa
- oppii tutkimaan xyz-koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
- vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
- tutustuu kahden muuttujan funktioon
- osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamisessa sekä vektorilaskennassa.
Keskeiset sisällöt
- vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
- piste- ja ristitulo
- piste, suora ja taso avaruudessa
- kulma avaruudessa
- yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
- kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa
Ohjelmistotaidot
Opintojaksolle voidaan sisällyttää seuraavia ohjelmistotaitoja, joissa opiskelija
- osaa piirtää avaruuden pisteitä, vektoreita, suoria ja tasoja sekä pintoja
- osaa laskea vektorien piste- ja ristitulon
- osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän symbolisesti ja graafisesti
- osaa hyödyntää ohjelmistoja ääriarvosovelluksissa (derivoiminen, nollakohtien ratkaiseminen, kulun havainnointi)
- oppii piirtämään ja havainnoimaan kahden muuttujan funktion kuvaajaa, laskea funktion arvon sekä määrittää ja havainnollistaa tasa-arvokäyriä.
Laaja-alainen osaaminen
Monitieteinen ja luova osaaminen
- syventämällä avaruusgeometrian ja vektorilaskennan sisältöjä opitaan mallintamaan ja ratkaisemaan kolmiulotteisen avaruuden tilanteita.
Opintojakson arviointi
Opintojakson aikaisella arvioinnilla pyritään auttamaan ja ohjaamaan opiskelijaa etenemään opinnoissa ja kehittämään pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan. Arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Opintojaksolla arvioinnissa voidaan hyödyntää myös itse- ja vertaisarviointia. Opintojakso arvioidaan tavoitteiden mukaista osaamista mittaavien kokeiden, testien tai oppimistehtävien avulla.
Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.
Algoritmit ja lukuteoria (MAA11)
Yleiset tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- tietää, mikä on algoritmi, sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
- laatii yksinkertaisiin matemaattisiin ongelmiin liittyviä algoritmeja
- oppii ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja
- perehtyy logiikan käsitteisiin
- hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
- osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta
- käyttää ohjelmistoja ohjelmoinnissa ja lukujen tutkimisessa.
Keskeiset sisällöt
- Algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
- vuokaavio
- yksinkertaisten algoritmien, lajittelualgoritmien tai yhtälön numeerisen ratkaisuun liittyvän algoritmin ohjelmointi
- konnektiivit ja totuusarvot
- kokonaislukujenjaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
- Eukleideen algoritmi
- aritmetiikan peruslause
Ohjelmistotaidot
Opintojaksolle voidaan sisällyttää seuraavia ohjelmistotaitoja, joissa opiskelija
- käyttää ohjelmointia apuna, kun tutkitaan lukujen ominaisuuksia ja erilaisia algoritmeja. Keskeisenä päämääränä on kokonaisuuksien ymmärtäminen ja mielenkiinnon herättäminen.
- Esimerkiksi: Laadi ohjelma, joka
- tulostaa lukujen a ja b jakoyhtälön
- tulostaa jäännösluokka a mod n sata pienintä positiivista jäsentä
- tutkii, onko n alkuluku peräkkäisillä jakolaskuilla, joissa jakajina 2, 3, 4, …, .
- Ohjelmoimalla voidaan ratkaista lisäksi esimerkiksi seuraavia ongelmia:
- neliöjuuren likiarvon laskeminen
- funktion nollakohdan etsiminen puolitusmenetelmällä
- yhtälön ratkaiseminen Newtonin menetelmällä
- alkulukututkimus Monte-Carlon menetelmällä.
Laaja-alainen osaaminen
Monitieteinen ja luova osaaminen
- tutkitaan lukujen ominaisuuksia ja erilaisia algoritmejä mm. ohjelmointia apuna käyttäen.
Opintojakson arviointi
Opintojakson aikaisella arvioinnilla pyritään auttamaan ja ohjaamaan opiskelijaa etenemään opinnoissa ja kehittämään pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan. Arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Opintojaksolla arvioinnissa voidaan hyödyntää myös itse- ja vertaisarviointia. Opintojakso arvioidaan tavoitteiden mukaista osaamista mittaavien kokeiden, testien tai oppimistehtävien avulla.
Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.
Analyysi ja jatkuva jakauma (MAA12)
Yleiset tavoitteet
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
- syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
- osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
- täydentää integraalilaskennan taitojaan
- perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
Keskeiset sisällöt
- paloittain määritelty funktio
- funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
- jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
- käänteisfunktio
- funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
- epäoleelliset integraalit
- jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen
Ohjelmistotaidot
Opintojaksolle voidaan sisällyttää seuraavia ohjelmistotaitoja, joissa opiskelija
- oppii piirtämään paloittain määritellyn funktion
- osaa tutkia funktioiden jatkuvuutta ja derivoituvuutta kuvaajan avulla sekä laskennallisesti
- osaa määrittää raja-arvoja (myös äärettömyydessä)
- oppii määrittämään käänteisfunktion lausekkeen (yhtälön avulla) ja käänteisfunktion määrittelyjoukon
- osaa laskea epäoleellisia integraaleja raja-arvon avulla
- oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia
- oppii määrittämään normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen sekä ratkaisemaan tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät vaadi normittamista
Laaja-alainen osaaminen
Monitieteinen ja luova osaaminen
- syvennetään ja laajennetaan derivointiin ja integrointiin liittyvien käsitteiden hallintaa ja menetelmiä
Opintojakson arviointi
Opintojakson aikaisella arvioinnilla pyritään auttamaan ja ohjaamaan opiskelijaa etenemään opinnoissa ja kehittämään pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan. Arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Opintojaksolla arvioinnissa voidaan hyödyntää myös itse- ja vertaisarviointia. Opintojakso arvioidaan tavoitteiden mukaista osaamista mittaavien kokeiden, testien tai oppimistehtävien avulla.
Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.