7. Varatun hiukkasen liike homogeenisissa sähkö- ja magneettikentässä

7-2
a)
1 Protoni
2 Neutroni
3 Elektroni
b)
i) Protonin rata taipuu ylöspäin
ii) Elekrtonin rata taipuu alaspäin
iii) Neutronin radan suunta pysyy samana

7-4
a)
$v=1{,}0\ \frac{Mm}{s}$
$B=50\mu T$

$q=1{,}60128\cdot10^{-19}C$

Protoniin kohdistuvan mageneettisen voiman suuruus Maan magneettikentässä on

$F_m=qvB=1{,}60128\cdot10^{-19}C\cdot1{,}0\ \frac{Mm}{s}\cdot50\mu T=8{,}0064\cdot10^{-18}\approx8{,}0\cdot10^{-18}N$

Protonin kohdistuvan painon suuruus on

$G=mg=1{,}67262\cdot10^{-27}kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1{,}6408...\cdot10^{-26}\approx1{,}6\cdot10^{-26}N$

Magneettisen voiman suuruusluokka on $10^{-18}$ N ja painon $10^{-26}$ N.

Paino on merkityksetän Maan magneettikentän kohdistamaan voimaan verrattuna: magneettinen voiam on noin 500 miljoonaa kertaa suurempi

$F_m=qvB$
$=1C\cdot1\frac{m}{s}\cdot1T=$

7-6

Koska hiukkanen liikkuu homogeenisessä sähökentässä, pätee

$\Delta E_k=W=qU=\frac{1}{2}mv_l^2-\frac{1}{2}mv_a^2$

Koska hiukkasen alku-nopeus on 0,

$qU=\frac{1}{2}mv_l^2$
$q=1{,}602176487\cdot10^{-19}C$
$U=150V$

$m=9{,}1093822\cdot10^{-31}kg$

Halutaan saada hiukkasen loppu-nopeus

$qU=\frac{1}{2}mv_l^2\ <=>v_l=\sqrt[]{\ \frac{2qU}{m}}$

$v_l=\sqrt[]{\ \frac{2qU}{m}}=\sqrt[]{\frac{2\cdot1{,}602176487\cdot10^{-19}C\cdot150V}{9{,}1093822\cdot10^{-31}kg}}=7263924{,}926\ \frac{m}{s}\approx7{,}3\cdot10^6\ \frac{m}{s}=7{,}3\frac{Mm}{s}$
Ja hiukkasen liike-energia saadaan

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot9{,}1093822\cdot10^{-31}kg\cdot\left(7263924{,}926\ \frac{m}{s}\right)^2=2{,}403264783\cdot10^{-17}\approx2{,}4\cdot10^{-17}J$

7-7
Jotta protonit kulkisivat kenttien läpi suuntansa säilyttäen, liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa on oltava Newtonin II lain mukaan $\Sigma\ \overline{F}=\overline{0}$ eli $\overline{F}_m+\overline{F}_s=\overline{0}$ . Valitaan magneettisen voiman suunta positiiviseksi, jolloi skalaariyhtälöstä $F_m-F_s=0$ saadaan $F_s=F_m$ eli $qE=qvB$ ja $q\frac{U}{d}=qvB\ \ \ \ \ \left|\right|\left(E=\frac{U}{d}\right)$ (koska on kyseessä homogeeninen sähkökenttä)

levyjen välinen jännite on

$U=dvB\ \ \ \ \ \left|\right|q\frac{U}{d}=qvB\ \left(q:t\ kumoutuvat\right)$

$U=dvB=0{,}016m\cdot1{,}1\ \frac{Mm}{s}\cdot23mT\approx0{,}40kV$

7-11
a) Elektronisuihkun jokaiseen elektroniin kohdistuvan magneettisen voiman suuruus on

$F_m=qvB=1{,}60218\cdot10^{-19}C\cdot9{,}0\ \frac{Mm}{s}\cdot0.26mT\approx0{,}36\ fN$ ja suunta oikean käden säännön perusteella elektronin liikesuuntaan nähden oikealle.

Huomaa, q on elektronin varauksen itseisarvo

Newtonin II lain mukaan on $\overline{F}_m=m\overline{a}$ , jossa magneettisen voiman suuruus on $F_m=qvB$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Saadaan yhtälö $qvB=\frac{v^2}{r}$ (q elektronin varauksen itseisarvo), jossa saadaam radam säteeksi $r=\frac{mv}{qB}=\frac{9{,}10938\cdot10^{-31}kg\cdot9{,}0\cdot10^6\frac{m}{s}}{1{,}60218\cdot10^{-19}C\cdot0{,}25mT}\approx0{,}20m$

c) Elektronin ratanopeus ympyräradalla on vakio. Tällöin on voimassa $t=\frac{s}{v}$ . Elektronin kulkema matka sen tehdessä kokonaisen kierroksen on $s=2\pi r$ , jossa r on radan säde. Kodan b perusteella $r=\frac{mv}{qB}$ , jossa q on elektronin varauksen itseisarvo.

Yhteen kierrokseen kulunut aika on

$t=\frac{s}{v}=\frac{2\pi\frac{mv}{qB}}{v}=\frac{2\pi m}{qB}\ \ \ \ \ \left|\right|v:t\ kumoutuvat$

$\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi\cdot9{,}10938\cdot10^{-31}kg}{1{,}60218\cdot10^{-19}C\cdot0{,}25mT}\approx0{,}14\mu s$

7-13

$E=28{,}6\ \frac{kV}{m}=28600\frac{V}{m}$

$B_1=0{,}110T$

$B_2=0{,}530T$

$m\left(^{114}Sn^+\right)=113{,}903u$

$1u=1{,}66054\cdot10^{-27}kg$

$q=1e=1{,}60218\cdot10^{-18}C$

Tinaionien osumakohtien etäisyys on ionien ratojen halkaisijoiden erotus

Analysoivassa magneettikentässä ionit liikkuvat pitkin ympyrärataa magneetisen voiman vaikutuksesta.

Magneettinen voima on $F_m=qvB_2$

Ionit ovat ympyräliikkeessä, jolloin niillä on normaalikiihtyvyyttä $a_n=\frac{v^2}{r}$

Newtonin II-lain mukaan

$\Sigma F=m\overline{a}_n$
$F_m=m\cdot\frac{v^2}{r}$

$qvB_2=m\cdot\frac{v^2}{r}$

$qB_2=m\cdot\frac{v}{r}$

$rqB_2=mv$
$r=\frac{mv}{qB_2}$

Ionit saapuvat analysoivaan magneettikenttään samalal nopeudella, millä ne pääsevät kulkemaan nopeus valitsimen läpi

Nopeus valitsimessa vakionopeudella kulkeville ioneille on

$\Sigma\overline{F}=\overline{0}$
$\overline{F}_s+\overline{F}_m=\overline{0}$
$F_s-F_m=0\ \mid\mathrm{Kun\ sähkösen\ voiman\ suunta\ on\ valittu\ positiiviseksi}$

$F_s=F_m$