Malliratkaisuja

159 (kaavamainen ratkaisutapa)

$x=3\ \text{desin}\text{ rasiat}{,}\ y\ =5\ \text{desin}$

$8{,}6=0{,}3x+0{,}5y$
$86=3x+5y$
$\text{syt}\left(3{,}5\right)=1$
$\frac{86}{1}=86\ \text{on kokonaisluku, joten on olemassa yksittäisratkaisu}$
Eukleideen algoritmi

$5=1\cdot3+2$
$3=1\cdot2+1$
$2=2\cdot1$

Etsitään yksittäisratkaisu:

$1=3-1\cdot2$

$1=3-1\cdot\left(5-1\cdot3\right)$
$1=3-1\cdot5+1\cdot3$
$1=2\cdot3-1\cdot5$ || * 86

$86=172\cdot3-86\cdot5$

$\begin{cases} x=172+n\cdot\frac{5}{1}=5n+172&\\ y=-86-n\cdot\frac{3}{1}=-3n-86& \end{cases}$

Yksi ratkaisu, jossa x ja y ovat positiivisia, on x = 27 ja y = 1, (kun n = -29)

V: 27 kolmen desin rasiaa ja 1 viiden desin rasia.

Nopea ratkaisu:
Huomataan, että 86 = 81+5 = 3*27+5*1, joten

V: 27 kolmen desin rasiaa ja 1 viiden desin rasia.

x = 6 puruluun pakkaus

y = 10 puruluun pakkaus

a)

$x\cdot6+y\cdot10$

b)

$x\cdot6+y\cdot10=56$

(päätellään, että y = 5 ja x = 1 (56 = viisi kymppiä ja yksi kutonen))

Tai kaavamaisesti:

syt:

$10=6\cdot1+4$
$6=4\cdot1+2$ <----
$4=2\cdot2$
$\text{syt}\left(10{,}6\right)=2$

Koska 56 / 2 = 28 on kokonaisluku, yksittäisratkaisu on olemassa. Selvitetään se:

$2=6\cdot1-4\cdot1$

$2=6\cdot1-\left(10-6\cdot1\right)\cdot1$
$2=6\cdot1-10\cdot1+6\cdot1$
$2=6\cdot2-10\cdot1$ || * 28 (jotta saadaan 56)

$56=56\cdot6-28\cdot10$

$\begin{cases} x=56+n\cdot\frac{10}{2}=56+5n&\\ y=-28-n\cdot\frac{6}{2}=-28-3n& \end{cases}$

Kun n = -10, saadaan

x = 56 + 5*(-10) = 6 ja

y = -28 - 3*(-10) = 2

Kun n = -11, saadaan

x = 56 + 5*(-11) = 1 ja

y = -28 - 3*(-11) = 5

V: 6 kuuden puruluun pakkausta ja 2 kymmenen.

V: 1 kuuden puruluun pakkausta ja 5 kymmenen.

163

$34086=14630\cdot2+4826$

$14630=4826\cdot3+152$
$4826=152\cdot31+114$
$152=114\cdot1+38$ <---
$114=38\cdot3$

=>

$\text{syt}\left(34086{,}14630\right)=38$

$38=34086a+14630b$

38 / 38 = 1 on kokonaisluku, joten etsitään yksittäisratkaisu

$38=\left(14630-4826\cdot3\right)\cdot1-\left(4826-\left(14630-4826\cdot3\right)\cdot31\right)\cdot1$
(kirjoita geogebraan (a - b*3)*1-(b-(a-b*3)*31)*1)

$38=32\cdot14630-97\cdot4826$

161

Saadaan syt=3. 800 / 3 ei ole kokonaisluku, joten ei ratkaisua.