Lisätietoa: Binääriluvut
Binääriluvut
Matematiikassa ja arjessa meillä on käytössä 10-lukujärjestelmä, jossa on käytössä luvut: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Tietokoneen prosessori käsittelee vain lukuja 0 tai 1. Nolla tarkoittaa sitä, että sähkövirta ei kulje (false) ja yksi tarkoittaa, että sähkövirta kulkee (true). Sanotaan, että tietokone käyttää laskemiseen binäärilukujärjestelmää. Mutta mikä on binäärilukujärjestelmä?
Tutkitaan aluksi luvun 2 potensseja.
10-lukujärjestelmässä esimerkiksi luku 1534 voidaan kirjoittaa potenssien avulla.
1534 = 1000 + 500 + 30 + 4 = 1 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 4 ∙ 100
Luvut 1, 5, 3 ja 4 tulevat kantaluvun kymmenen potenssien eteen.
Kirjoitetaan sama luku käyttäen luvun 2 potensseja.
1534 = 1012 + 0 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 =
1 ∙ 1010 + 0 ∙ 109 + 1 ∙ 108 + 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20
Kun vertaat lukuja taulukossa niin huomaat, että jos taulukossa olevaa lukua on käytetty, niin potenssin eteen tulee 1. Jos taulukossa olevaa lukua ei ole käytetty, niin potenssin eteen tulee 0. Voimme kirjoittaa luvun 1534 binäärimuodossa kun poimimme kantaluvun kaksi potenssien edessä olevista luvuista 1:n ja 0:n. Jolloin luvun 1534 binäärimuoto on 10111111110.
Harjoitellaan vielä sama toisinpäin. Muuta binääriluku 1001101101 kymmenlukujärjestelmään.
1001101101 = 1 ∙ 1010 + 0 ∙ 109 + 0 ∙ 108 + 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 +1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20
=1012 + 0 + 0 + 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 1217
Tutkitaan aluksi luvun 2 potensseja.
| Potenssi | Luku |
|---|---|
| 20 | 1 |
| 21 | 2 |
| 22 | 4 |
| 23 | 8 |
| 24 | 16 |
| 25 | 32 |
| 26 | 64 |
| 27 | 128 |
| 28 | 256 |
| 29 | 512 |
| 210 | 1012 |
| 211 | 2048 |
10-lukujärjestelmässä esimerkiksi luku 1534 voidaan kirjoittaa potenssien avulla.
1534 = 1000 + 500 + 30 + 4 = 1 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 4 ∙ 100
Luvut 1, 5, 3 ja 4 tulevat kantaluvun kymmenen potenssien eteen.
Kirjoitetaan sama luku käyttäen luvun 2 potensseja.
1534 = 1012 + 0 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 0 =
1 ∙ 1010 + 0 ∙ 109 + 1 ∙ 108 + 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20
Kun vertaat lukuja taulukossa niin huomaat, että jos taulukossa olevaa lukua on käytetty, niin potenssin eteen tulee 1. Jos taulukossa olevaa lukua ei ole käytetty, niin potenssin eteen tulee 0. Voimme kirjoittaa luvun 1534 binäärimuodossa kun poimimme kantaluvun kaksi potenssien edessä olevista luvuista 1:n ja 0:n. Jolloin luvun 1534 binäärimuoto on 10111111110.
Harjoitellaan vielä sama toisinpäin. Muuta binääriluku 1001101101 kymmenlukujärjestelmään.
1001101101 = 1 ∙ 1010 + 0 ∙ 109 + 0 ∙ 108 + 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 +1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20
=1012 + 0 + 0 + 128 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 1217
Yhteenlasku binääriluvuilla
Mietitään laskutoimitus 153 + 178 = 331 binääriluvuilla. Kymmenlukujärjestelmässä lasket luvut allekkain seuraavasti.
Muutetaan seuraavaksi nämä luvut binääriluvuksi.
153 = 128 + 16 + 8 + 1 = 1 ∙ 107 + 0 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 10011001
173 = 128 + 32 + 16 + 2 = 1 ∙ 107 + 0 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 10110010
331 = 256 + 64 + 8 + 2 + 1 = 1 ∙ 108 + 0 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 101001011
Binääriluvuille pätee seuraavat laskutoimitukset.
Voimme tämän laskusäännön perusteella laskea luvut allekkain ja saamme saman vastauksen
Voit harjoitella binäärilukujen välistä laskutoimitusta valitsemalla kaksi kymmenjärjestelmän lukua, esimerkiksi luvut 278 ja 345. Jonka jälkeen muuta luvut ensin binäärimuotoon ja suorita laskut allekkain kuten esimerkissä. Lopuksi voit tarkistaa, että vastaako yhteenlaskun tulos lukua 623.
| 1 | 1 | ||
| 1 | 5 | 3 | |
| + | 1 | 7 | 8 |
| 3 | 3 | 1 | |
Muutetaan seuraavaksi nämä luvut binääriluvuksi.
153 = 128 + 16 + 8 + 1 = 1 ∙ 107 + 0 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 10011001
173 = 128 + 32 + 16 + 2 = 1 ∙ 107 + 0 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 1 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 10110010
331 = 256 + 64 + 8 + 2 + 1 = 1 ∙ 108 + 0 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 101001011
Binääriluvuille pätee seuraavat laskutoimitukset.
| Lasku | Tulos |
|---|---|
| 0+0 | 0 |
| 0+1 | 1 |
| 1+0 | 1 |
| 1+1 | 10 |
Huomio: Laskutoimituksessa 1+1 siirrä 1:n seuraavaan sarakkeeseen.
Voimme tämän laskusäännön perusteella laskea luvut allekkain ja saamme saman vastauksen
| 1 | 1 | 1 | |||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||
| + | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
Voit harjoitella binäärilukujen välistä laskutoimitusta valitsemalla kaksi kymmenjärjestelmän lukua, esimerkiksi luvut 278 ja 345. Jonka jälkeen muuta luvut ensin binäärimuotoon ja suorita laskut allekkain kuten esimerkissä. Lopuksi voit tarkistaa, että vastaako yhteenlaskun tulos lukua 623.
Vähennyslasku binääriluvuilla
Mietitään laskutoimitus 205 - 102 = 103 binääriluvuilla. Kymmenlukujärjestelmässä lasket luvut allekkain seuraavasti.
Muutetaan seuraavaksi nämä luvut binääriluvuksi.
205 = 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 11001101
102 = 64 + 32 + 4 + 2 = 0 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 01100110
103 = 256 + 64 + 8 + 2 + 1 = 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 1100111
Binääriluvuille pätee seuraavat laskutoimitukset
Voimme tämän laskusäännön perusteella laskea luvut allekkain ja saamme saman vastauksen
Voit harjoitella binäärilukujen välistä laskutoimitusta valitsemalla kaksi kymmenjärjestelmän lukua, esimerkiksi luvut 656 ja 425. Jonka jälkeen muuta luvut ensin binäärimuotoon ja suorita laskut allekkain kuten esimerkissä. Lopuksi voit tarkistaa, että vastaako vähennyslaskun tulos lukua 231.
| 2 | 0 | 5 | |
| - | 1 | 0 | 2 |
| 1 | 0 | 3 | |
Muutetaan seuraavaksi nämä luvut binääriluvuksi.
205 = 128 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 0 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 11001101
102 = 64 + 32 + 4 + 2 = 0 ∙ 107 + 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 01100110
103 = 256 + 64 + 8 + 2 + 1 = 1 ∙ 106 + 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 1100111
Binääriluvuille pätee seuraavat laskutoimitukset
| Lasku | Tulos |
|---|---|
| 0-0 | 0 |
| 1-1 | 0 |
| 1-0 | 1 |
| 10-1 | 1 |
Huomio: Laskutoimitus 0-1, muuttuu laskutoimitukseksi 10-1, kun lainataan luku seuraavasta sarakkeesta.
Voimme tämän laskusäännön perusteella laskea luvut allekkain ja saamme saman vastauksen
| 10 | 10 | 10 | 10 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||
| - | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
Voit harjoitella binäärilukujen välistä laskutoimitusta valitsemalla kaksi kymmenjärjestelmän lukua, esimerkiksi luvut 656 ja 425. Jonka jälkeen muuta luvut ensin binäärimuotoon ja suorita laskut allekkain kuten esimerkissä. Lopuksi voit tarkistaa, että vastaako vähennyslaskun tulos lukua 231.