Resonanssi 5

Ratkaisuista

Tälle sivulle opettaja voi tallentaa tehtävien malliratkaisuja. Jos ratkaisuja on paljon, löydät etsimäsi tehtävänumeron selaimen hakutoiminnolla control+f.

651. Äänirauta putken suulla (kopio)

Äänirauta asetetaan toisesta päästään avoimen putken suulle. Putken pituutta voidaan muuttaa siirtämällä sen sisällä olevaa muovikappaletta. Pituutta kasvatetaan, jolloin ääniraudan äänen havaitaan voimistuvan putken pituuden ollessa 17 cm, 52 cm ja 87 cm.

Selitä ilmiö.
Mikä on ääniraudan taajuus?

Ratkaisu

a. Kun putken pituus on sopiva, muodostuu sen sisään seisova aalto. Putki alkaa tällöin resonoida ääniraudan äänen kanssa. Ääniraudan taajuus on vakio, joten sen äänen aallonpituus on myös vakio.

Alla on esitetty graafinen malli eri pituisiin putkiin syntyville aalloille. Rakenneosien värähtelyä tarkasteltaessa putketun suljetussa päässä on solmukohta ja avoimessa kupu. Päiden välillä voi olla värähtelyn solmukohtia riippuen siitä, mistä ominaisvärähtelystä on kyse.

b. Graafisen mallin perusteella nähdään, että putken pituus perusvärähtelyssä on neljäsosa aallonpituudesta. 1. ylävärähtelyn tapauksessa putken pituus on 3/4 aallonpituutta ja 2. ylävärähtelyssä 5/4 aallonpituutta.

Perusvärähtelyn perusteella äänen aallopituus on siis

[[$ \quad \lambda = 4 \cdot 17 \text{ cm}=68 \text{ cm} $]]

Ensimmäiselle ja toiselle ylävärähtelylle voidaan myös laskea aallonpituudet, jotka vastaavat mitattuja pituuksia 52 cm ja 87 cm.

[[$ \quad \lambda = 4/3 \cdot 52 \text{ cm} = 69{,}333 \dots \text{ cm} $]]

[[$ \quad \lambda = 4/5 \cdot 87 \text{ cm} = 69{,}6 \text{ cm} $]]

Paras arvio aallonpituudeksi on näiden kolmen keskiarvo, joka on 68,977... cm.

Aaltoliikkeen perusyhtälön mukaan [[$v=\lambda f$]], josta lasketaan taajuus.

[[$ \quad f=\dfrac{v}{\lambda}=\mathrm{\dfrac{343\ \dfrac{m}{s}}{0{,}68977...\ m}\approx500\ Hz} $]]

Taajuus on 500 Hz.

552. Putken epäjatkuvuuskohdat (kopio)

Äänipulssi tuotetaan ilmatäytteiseen putkeen huoneen lämpötilassa. Ääni heijastuu putkessa mahdollisista epäjatkuvuuskohdista ja putken päästä. Mittauksen perusteella putkessa havaitaan epäjatkuvuuskohta, koska äänipulssi heijastuu ensimmäisen kerran ennen kuin pulssi on saavuttanut putken pään. Toisen heijastus on peräisin putken päästä. Määritä epäjatkuvuuskohdan etäisyys molemmista putken päistä senttimetrin tarkkuudella.

Aineisto:
Taulukko: putken_epajatkuvuuskohdat.ods (LibreCalc)
Taulukko: putken_epajatkuvuuskohdat.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: putken_epajatkuvuuskohdat.cap (Capstone)

Ratkaisu

Esitetään suhteellinen äänen paine graafisesti ajan suhteen.

Lähtevän pulssin ja epäjatkuvuuskohdasta heijastuvan pulssin välinen aikaero on 0,01153 s. Tässä ajassa pulssi etenee edestakaisin putken alusta epäjatkuvuuskohtaan. Epäjatkuvuuskohdan etäisyys putken alusta voidaan laskea äänen tasaisen etenemisen perusteella.

[[$ v=\dfrac{2s_1}{\Delta t} $]]

[[$ s_1=\dfrac{v\Delta t}{2}=\mathrm{\dfrac{343\ \frac{m}{s}\cdot0{,}01153\ s}{2}\approx1{,}98\ m} $]]

Vastaavasti voidaan ratkaista epäjatkuvuuskohdan etäisyys putken toisesta päästä. Ensimmäisen ja toisen heijastuksen välillä ääni on edennyt epäjatkuvuuskohdasta putken toiseen päähän ja takaisin. Tämä aikaväli on kuvaajan perusteella 0,006865 s.

[[$ s_2=\dfrac{v\Delta t}{2}=\mathrm{\dfrac{343\ \frac{m}{s}\cdot0{,}006865\ s}{2}\approx1{,}18\ m} $]]

Epäjatkuvuuskohdan etäisyys molemmista putken päistä on 198 cm ja 118 cm.

513. Salamaniskun etäisyys (kopio)

Kuulet ukkosen jyrähdyksen 9,5 sekuntia salaman välähtämisen jälkeen. Kuinka kaukana olinpaikastasi salama iski?

Ratkaisu

Ääni etenee tasaisesti salaman iskukohdasta kuulijan korviin. Äänen nopeus on 334 m/s, kun ilman lämpötilaksi oletetaan 5 [[$^{\circ}$]]C.

Valon etenemisen salaman iskukohdasta kuulijan silmiin kestoksi voidaan olettaa 0 s, sillä valon nopeus on hyvin suuri.

Salaman iskuetäisyys on siis sama kuin äänen kulkema matka 9,5 sekunnissa.

[[$ \quad s=vt=\mathrm{334\ \frac{m}{s}\cdot9{,}5\ s=3200\ m} $]]

Noin 3,2 kilometrin päässä. Vastaus riippuu siitä, kuinka korkeaksi ilman lämpötila oletetaan.

514. Kaiuttimien äänten interferenssi (kopio)

Kaiutin lähettää siniaaltomuotoista ääntä 440 Hz:n taajuudella.

Toinen samanlainen ja samaa ääntä lähettävä kaiutin asetetaan 78 cm:n etäisyydelle ensimmäisestä kaiuttimesta. Missä kohdin kaiutinten välissä havaitaan selvimmin äänten destruktiivinen interferenssi?
Miltä ääni kuulostaa niissä kohdissa?

Ratkaisu

a. Destruktiivinen interferenssi syntyy sellaisessa kohdassa, jossa kaiuttimista lähtevät ääniaallot ovat vastakkaisessa vaiheessa keskenään. Tämä riippuu etäisyydestä ja aallonpituudesta.

Lasketaan aallonpituus aaltoliikkeen perusyhtälön perusteella.

[[$ \quad v=f\lambda\\ \quad \lambda=\dfrac{v}{f} $]]

[[$ \quad f=440 \textrm{ Hz}\\ \quad v=343 \textrm{ m/s} $]]

[[$ \quad \lambda=0{,}7795454\dots \textrm{ m} $]]

Destruktiivinen interferenssi syntyy, kun aaltojen kulkemien matkojen erotus on [[$ 0{,}5 \lambda $]]. Matkaerot [[$ 1{,}5 \lambda $]], [[$ 2{,}5 \lambda $]] jne. eivät ole mahdollisia.

Jos merkitään etäisyyttä ensimmäisestä kaiuttimesta x, etäisyys toisesta kaiuttimesta on

[[$ \quad l-x=0{,}78 \text{ m}-x $]].

Interferenssin ehto on siis seuraava.

[[$ \quad \begin {align*} \Delta D&=0{,}5 \lambda\\ x-(l-x)&=0{,}5 \lambda\\ 2x&=0{,}5 \lambda+l\\ x&=0{,}25 \lambda+0{,}5l\\ x&=0{,}25\cdot 0{,}7795454 \dots \text{ m}+0{,}5\cdot 0{,}78 \text{ m}\\ x&\approx 0{,}58 \text{ m} \end {align*} $]]

Kysytty kohta on 58 cm:n etäisyydellä jommasta kummasta kaiuttimesta.

b. Destruktiivisen interferenssin vuoksi paineenvaihtelut heikkenevät lasketussa kohdassa. Ääni kuulostaa hiljaisemmalta kuin muualla kaiuttimien välissä.

519. Ääniraudat ja huojunta (kopio)

Kahdella ääniraudalla on likimain sama taajuus. Kun ääniraudat laitettiin yhtä aikaa soimaan, muodostui oheinen kuvaaja.

Mistä johtuu kuultavan äänen voimakkuuden muutos?
Mikä on äänen voimakkuuden muutostaajuus?
Toisen ääniraudan taajuus on 440 Hz. Kuinka suurella taajuudella toinen äänirauta soi?

Aineisto:
Taulukko: aaniraudat_ja_huojunta.ods (LibreCalc)
Taulukko: aaniraudat_ja_huojunta.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: aaniraudat_ja_huojunta.cap (Capstone)

Ratkaisu

a. Kuvaajassa havaitaan äänen voimakkuuden jaksottaista vaihtelua, joka aiheutuu kahden äänilähteen interferenssistä. Äänilähteet välillä vahvistavat ja välillä heikentävät toisiaan. Äänen voimakkuuden muutos kuullaan äänen huojuntana.

b. Mittausdatan perusteella yhden äänen voimakkuuden muutoksen jaksonaika on 0,10 sekuntia.

Taajuus lasketaan seuraavasti.

[[$ \quad f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{0{,}10 \textrm{ s}} =10\text{ Hz} $]]

[[$ \quad T=0{,}10 \textrm{ s} $]]

[[$\quad f=10 \textrm{ Hz} $]]

Taajuudeksi saadaan 10 Hz.

c. Huojuntataajuus muodostuu äänilähteiden taajuuksien erotuksesta.

[[$ \quad f_h=|f_2-f_1|\\ \quad f_2=f_h\pm f_1 $]]

Kun taajuuksien erotus on 10 Hz ja toisen äänilähteen taajuus on 440 Hz, on toisen äänilähteen taajuus joko 430 Hz tai 450 Hz. Fourier-muunnoksen kuvaajan perusteella toisen äänilähteen taajuus on 430 Hz.

619. Kitaran kieli (kopio)

Kitaran kieli näpäytetään soimaan, jolloin syntyy kuvan mukainen spektri. Värähtelyn etenemisnopeus kielessä on 399 m/s.

Aineisto:
Taulukko: kitaran_kieli.ods (LibreCalc)
Taulukko: kitaran_kieli.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: kitaran_kieli.cap (Capstone)

Kuinka pitkä on kitaran kieli perusvärähtelyn taajuuden avulla laskettuna?
Mitkä ovat kielen perustaajuus sekä ensimmäisen ja toisen ylävärähtelyn taajuus, jos kielen pituus on 63,0 cm?

Ratkaisu

a. Kieleen syntyy seisova aalto, kun kitaran kielen päistä heijastuneet värähtelyt vahvistavat toisiaan. Kieleen syntyy päihin solmut ja väliin perustaajuudella yksi kupu. Tällöin perustaajuudella kieleen mahtuu puolikkaan aallonpituuden mittainen aalto.

[[$ \quad L=\dfrac{1}{2}\lambda_1 $]]

Perustaajuutta vastaava taajuus saadaan luettua mittausdatasta.

[[$ \quad f_1=378{,}4 \text{ Hz} $]]

Aaltoliikkeen perusyhtälöstä [[$ v=f\lambda $]] saadaan ratkaistua kitaran kielen pituus.

[[$ \quad\begin{align}v&=f\lambda =f\cdot 2L \\ \ \\ L&=\dfrac{v}{2f} \\ \ \\ &=\dfrac{399 \text{ m/s}}{2 \cdot 378{,}4 \text{ Hz}} \\ \ \\ &=0{,}527 \ldots \text{ m} \approx 0{,}53 \text{ m}\end{align} $]]

Kitaran kieli on noin 53 cm pitkä.

b. Kieleen syntyvät perustaajuutta, ensimmäistä ja toista ylävärähtelyä vastaavat seisovat aallot.

[[$ \quad\begin{align}L&=\dfrac{1}{2}\lambda_1\\ L&=\lambda_2\\ L&=\dfrac{3}{2}\lambda_3\end{align} $]]

Aaltoliikkeen perusyhtälöstä [[$ v=f\lambda $]] saadaan ratkaistua vastaavat taajuudet.

[[$ \quad\begin{align}f_1&=\dfrac{v}{\lambda_1}=\dfrac{v}{2L} \\ \ \\ f_2&=\dfrac{v}{\lambda_2}=\dfrac{v}{L} \\ \ \\ f_3&=\dfrac{v}{\lambda_3}=\dfrac{v}{\frac{2}{3}L}=\dfrac{3v}{2L}\end{align} $]]

Sijoittamalla värähdyksen etenemisnopeus 399 m/s ja kielen pituus 0,630 m saadaan vastaaviksi taajuuksiksi 320 Hz, 630 Hz ja 950 Hz.

Perustaajuus on 320 Hz, ensimmäinen yläsävel on 630 Hz ja toinen yläsävel on 950 Hz.

625. Työkoneen meteli (kopio)

Äänen intensiteettitaso on 97 dB, kun etäisyys työkoneesta on 23 m.

Kuinka suuri on äänilähteen intensiteetti 23 metrin etäisyydellä työkoneesta?
Kuinka suuri on työkoneen tuottaman äänen teho?

Ratkaisu

a. Ratkaistaan intensiteetti äänen intensiteetin ja intensiteettitason välisestä yhteydestä.

[[$ \quad\begin{align}L&=10\lg\dfrac{I}{I_0}\\ \ \\ I&=I_010^{L/10}\end{align} $]]

Intensiteettitaso on annettu ja vertailuintensiteetti on [[$I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2$]]. Intensiteetti voidaan laskea.

[[$ \quad I=0{,}00501187233 \text{ W/m}^2 \approx 5,0\cdot 10^{-3} \text{ W/m}^2 $]]

Äänilähteen intensiteetti on 5,0 ⋅ 10^-3 W/m².

b. Teho voidaan ratkaista intensiteetin määritelmästä.

[[$ \quad\begin{align}I&=\dfrac{P}{A}\\ \ \\ P&=IA\end{align} $]]

Ääni leviää palloaaltona ympäristöön, joten pinta-ala on pallon pinta-ala: [[$ A=4\pi r^2 $]].

Intensiteetti on tiedossa a-kohdan perusteella ja etäisyys on annettu. Teho voidaan nyt laskea.

[[$ \quad\begin{align}P&=IA=I\cdot 4\pi r^2\\ \ \\ &=0{,}00501\text{ W/m}^2\cdot 4\pi\left(23\text{ m}\right)^2\\ \ \\ &=33{,}3\dots\text{W}\approx 33 \text{ W}\end{align} $]]

Äänen teho on 33 W.

625. Työkoneen meteli (kopio)

Äänen intensiteettitaso on 97 dB, kun etäisyys työkoneesta on 23 m.

Kuinka suuri on äänilähteen intensiteetti 23 metrin etäisyydellä työkoneesta?
Kuinka suuri on työkoneen tuottaman äänen teho?

Ratkaisu

a. Ratkaistaan intensiteetti äänen intensiteetin ja intensiteettitason välisestä yhteydestä.

[[$ \quad\begin{align}L&=10\lg\dfrac{I}{I_0}\\ \ \\ I&=I_010^{L/10}\end{align} $]]

Intensiteettitaso on annettu ja vertailuintensiteetti on [[$I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2$]]. Intensiteetti voidaan laskea.

[[$ \quad I=0{,}00501187233 \text{ W/m}^2 \approx 5,0\cdot 10^{-3} \text{ W/m}^2 $]]

Äänilähteen intensiteetti on 5,0 ⋅ 10^-3 W/m².

b. Teho voidaan ratkaista intensiteetin määritelmästä.

[[$ \quad\begin{align}I&=\dfrac{P}{A}\\ \ \\ P&=IA\end{align} $]]

Ääni leviää palloaaltona ympäristöön, joten pinta-ala on pallon pinta-ala: [[$ A=4\pi r^2 $]].

Intensiteetti on tiedossa a-kohdan perusteella ja etäisyys on annettu. Teho voidaan nyt laskea.

[[$ \quad\begin{align}P&=IA=I\cdot 4\pi r^2\\ \ \\ &=0{,}00501\text{ W/m}^2\cdot 4\pi\left(23\text{ m}\right)^2\\ \ \\ &=33{,}3\dots\text{W}\approx 33 \text{ W}\end{align} $]]

Äänen teho on 33 W.

413. Leikkiauton kiihtyvyys (kopio)

Leikkiauton etuosaan kiinnitetään jousi, jonka jousivakio 15 N/m. Leikkiautoa vedetään lattiaa pitkin jousen toisesta päästä kiinni pitäen, jolloin jousen venymä on 2,0 cm. Auton massa on 130 g. Määritä leikkiauton kiihtyvyys.

Ratkaisu

Leikkiautoon vaikuttaa jousen vetävä voima, paino ja tukivoima. Paino ja tukivoima kumoavat toisensa, eivätkä muuta leikkiauton liikettä. Kokonaisvoima on yhtä suuri kuin jousen vetävä voima [[$F=kx$]]. Kiihtyvyys saadaan ratkaistua Newtonin II laista.

[[$\quad\begin{align}F&=ma\\ a&=\dfrac{F}{m}=\dfrac{kx}{m}\\ &=\dfrac{15\text{ N/m}\cdot 0{,}020\text{ m}}{0{,}130\text{ kg}}=2{,}30\dots\text{m/s}^2\approx 2{,}3\text{ m/s}^2\end{align}$]]

Kiihtyvyys on 2,3 m/s².

657. Äänen intensiteettitaso (kopio)

15 metrin etäisyydellä äänilähteestä mitataan äänen intensiteettitasoksi 88 dB. Mikä on äänen intensiteettitaso 55 m:n etäisyydellä?

Ratkaisu

Ratkaistaan aluksi intensiteetti 15 metrin etäisyydellä, kun intensiteettitaso on tunnettu.

[[$ \quad \begin{align} L&=10 \lg \dfrac{I}{I_0}\text{ dB} \\ \dfrac{L}{10 \text{ dB}}&=\lg \dfrac{I}{I_0} \\ 10^\frac{L}{10 \text{ dB}}&=\dfrac{I}{I_0} \\ I&=I_0 \cdot 10^\frac{L}{10\text{ dB}} \\ I&=10^{-12} \text{ W/m}^2 \cdot 10^\frac{88\text{ dB}}{10\text{ dB}} \\ I&=6{,}3095 \ldots \cdot 10^{-4} \text{ W/m}^2 \end{align} $]]

Intensiteetti määritellään [[$ I=\dfrac{P}{A} $]]. Ratkaistaan tästä äänilähteen teho [[$ P $]], kun tiedetään että teho jakaantuu pallopinnalle [[$ A=4\pi r^2 $]].
[[$ \quad \begin{align} I&=\dfrac{P}{A} \\ P&=I\cdot A \\ P&=6{,}3095 \ldots \cdot 10^{-4} \text{ W/m}^2 \cdot 4 \pi \cdot (15 \text{ m})^2 \\ P&=1{,}7839 \ldots \text{ W} \end{align} $]]

Teho pysyy vakiona, joten nyt saadaan laskettua intensiteettitaso 55 metrin etäisyydellä.

[[$ \quad \begin{align} L&=10 \lg \dfrac{I_1}{I_0}\text{ dB} \\ L&=10 \lg \dfrac{\frac{P}{4\pi r_1^2}}{I_0}\text{ dB} \\ L&=10 \lg \dfrac{\frac{1{,}7839 \ldots \text{ W}}{4\pi \cdot(55 \text{ m})^2}}{10^{-12} \text{ W/m}^2} \text{ dB}\\ L&=76{,}7 \ldots \text{ dB} \approx 77 \text{ dB} \end{align} $]]

Noin 77 dB.

628. Maitovalaiden ääntely (YO-koe S2008) (kopio)

Maitovalaiden aistimien äänien taajuus on 1,2 Hz ... 130 000 Hz. Mikä on vastaava aallonpituus vedessä?
Valaat kaikuluotaavat äänen avulla. Selitä kaikuluotauksen periaate.
Miten kaikuluotauksella saadaan tietoa kohteen nopeudesta?

YO-koetehtävä syksy 2008

Ratkaisu

a. Aallonpituusalue saadaan ratkaistua aaltoliikkeen perusyhtälöstä. Äänen etenemisnopeus vedessä on [[$v=1\,500\text{ m/s}$]].

[[$ \quad\begin{align}v&=\lambda f\\ \ \\ \lambda &= \dfrac{v}{f}\end{align} $]]

Sijoitetaan annetun taajuusalueen minimi ja maksimi, jotta saadaan selville aallonpituuden minimi ja maksimi.

[[$ \quad\begin{align}\lambda_\text{min}&=\dfrac{v}{f_\text{max}}=\dfrac{1\,500\text{ m/s}}{130\,000\text{ Hz}}=0{,}0115\dots\text{m}\approx 0{,}011\text{ m}\\ \ \\ \lambda_\text{max}&=\dfrac{v}{f_\text{min}}=\dfrac{1\,500\text{ m/s}}{1{,}2\text{ Hz}}=1\,250 \text{ m}\approx 1\,300\text{ m}\end{align}$]]

Aallonpituus on 1,2 cm ... 1 300 m.

b. Kaikuluotauksessa valas tuottaa ääntä, joka etenee vedessä, kunnes ääntä tulee heijastavaan rajapintaan. Ääni heijastuu takaisin rajapinnasta, ja valas aistii heijastuneen äänen. Rajapinnan etäisyys saadaan lähetetyn ja heijastuneen äänen aikaerosta. (Valas arvioi tai ihmisen tekemä mittalaite laskee aikaeron avulla etäisyyden, koska äänen nopeus vedessä on tunnettu).

c. Kaikuluotauksessa nopeuden määrittäminen perustuu Dopplerin ilmiöön. Dopplerin ilmiössä äänilähteen ja rajapinnan välinen nopeus muuttaa äänen taajuutta. Mitä suurempi taajuuden muutos on, sitä suuremmalla nopeudella äänilähteen ja rajapinnan välinen liike tapahtuu. Jos äänen taajuus kasvaa, äänilähde etenee kohti rajapintaa.

Nopeuden määrittäminen onnistuu vertaamalla lähetetyn ja saapuvan taajuuden eroa. Taajuuden muutoksesta voidaan määrittää äänilähteen ja rajapinnan välinen nopeus.

628. Maitovalaiden ääntely (YO-koe S2008) (kopio)

Maitovalaiden aistimien äänien taajuus on 1,2 Hz ... 130 000 Hz. Mikä on vastaava aallonpituus vedessä?
Valaat kaikuluotaavat äänen avulla. Selitä kaikuluotauksen periaate.
Miten kaikuluotauksella saadaan tietoa kohteen nopeudesta?

YO-koetehtävä syksy 2008

Ratkaisu

a. Aallonpituusalue saadaan ratkaistua aaltoliikkeen perusyhtälöstä. Äänen etenemisnopeus vedessä on [[$v=1\,500\text{ m/s}$]].

[[$ \quad\begin{align}v&=\lambda f\\ \ \\ \lambda &= \dfrac{v}{f}\end{align} $]]

Sijoitetaan annetun taajuusalueen minimi ja maksimi, jotta saadaan selville aallonpituuden minimi ja maksimi.

Aallonpituus on 1,2 cm ... 1 300 m.

Nopeuden määrittäminen onnistuu vertaamalla lähetetyn ja saapuvan taajuuden eroa. Taajuuden muutoksesta voidaan määrittää äänilähteen ja rajapinnan välinen nopeus.

423. Värähtelyn aika ja taajuus (kopio)

Jousen jousivakio on 12 N/m. Jouseen ripustettiin punnus, jonka massa on 50,0 g. Jousi laitettiin värähtelemään.

Mikä on yhteen värähdykseen kulunut aika?
Kuinka suuri on värähtelyn taajuus?

Ratkaisu

Jousi on harmoninen värähtelijä.

a.–b. Jousen värähtelyn jaksonaika ja taajuus saadaan suoraan kaavoista.

[[$\quad\begin{align} T&=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\\ \ \\f&=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\end{align} $]]

Listataan sijoitettavat arvot.

[[$\quad\begin{align} k&=12 \text{ N/m}\\ m&=0{,}0500 \text{ kg}\end{align} $]]

Vastauksiksi saadaan

[[$\quad\begin{align} T&=0{,}40557787 \text{ s}\approx 0{,}41 \text{ s}\\ f&=2{,}4656178 \text{ Hz}\approx 2{,}5 \text{ Hz}\end{align} $]]

a. Yhteen värähdykseen kulunut aika on 0,41 s.
b. Värähtelyn taajuus on 2,5 Hz.

320. Auringon massan määritys

Auringon massaa ei voida suoraan mitata, mutta se voidaan laskea planeettojen liikkeen perusteella. Oletetaan, että tunnetaan Maan etäisyys Auringosta ja kiertoaika sen ympäri: 1,5 · 10⁸ kilometriä ja 365,3 päivää. Laske Auringon massa näiden tietojen perusteella.

Ratkaisu

Maa kiertää Aurinkoa ympyräradalla. Maan ratanopeus on vakio. Radalla Auringon ympäri Maahan vaikuttaa ainoastaan Auringon gravitaatiovoima [[$G=\gamma\dfrac{Mm}{r^2}$]]. Ympyräradalla kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä [[$a_\text{n}=\dfrac{v^2}{r}$]]. Newtonin II laki tulee muotoon

[[$\quad \begin{align}\bar{G}&=m\bar{a}\\ \ \\ G&=ma_\text{n}\\ \ \\ \gamma \dfrac{mM}{r^2}&=m\dfrac{v^2}{r}\\ \ \\ \gamma \dfrac{M}{r}&=v^2\end{align}$]]

Maa on tasaisessa ympyrärataliikkeessä, joten

[[$\quad v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{2\pi r}{T}$]]

Sijoitetaan tämä liikeyhtälöön.

[[$\quad \gamma \dfrac{M}{r}=\dfrac{(2\pi r)^2}{T^2}$]]

Ratkaistaan Auringon massa.

[[$\quad \begin{align}M&=\dfrac{4\pi^2 r^3}{\gamma T^2}\\ &=\dfrac{4\pi^2\cdot (1{,}5\cdot 10^{11} \text{ m})^3}{6{,}674\cdot 10^{-11} \,\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}\cdot \left(365{,}3\cdot 24\cdot 60 \cdot 60 \text{ s}\right)^2}=2{,}0041\cdot 10^{30} \text{ kg}\approx 2{,}0 \cdot 10^{30} \text{ kg}\end{align}$]]

Auringon massa on 2,0 ⋅ 10³⁰ kg.

460. Punnuksen värähtely (kopio)

110 gramman punnus kiinnitettiin roikkumaan jouseen ja päästettiin värähtelemään. Punnuksen paikkaa ja nopeutta mitattiin sen alapuolella olleen ultraäänianturin avulla. Mittaustulokset ovat alla liitteenä.

Muodosta kuvaajat punnuksen paikasta ja nopeudesta ajan suhteen.
Määritä punnuksen suurin liike-energia mittauksen aikana.
Mitä liike-energialle tapahtuu värähtelyn aikana?
Esitä punnuksen nopeus paikan suhteen graafisesti. Millainen tämä kuvaaja olisi, mikäli systeemin mekaaninen energia säilyisi?

Aineisto:
Taulukko: punnuksen_varahtely.ods (LibreCalc)
Taulukko: punnuksen_varahtely.cmbl (Logger Pro)
Taulukko: punnuksen_varahtely.cap (Capstone)

Ratkaisu

a. Alla on esitetty punnuksen paikan ja nopeuden kuvaajat. Molempiin on sovitettu sinikäyrä, joka ilmentää värähtelyn olevan harmonista.

b. Nopeuden suurin itseisarvo on 0,61 m/s hetkellä 0,10 s. Tätä vastaa liike-energia

[[$ \quad E_k=\dfrac{1}{2}mv^2=\mathrm{\dfrac{1}{2}\cdot0{,}11\ kg\cdot\left(0{,}61\ \frac{m}{s}\right)^2\approx0{,}020\ J} $]]

Suurin liike-energia on 0,020 J.

c. Liike-energian määrä vaihtelee. Lähellä värähtelyn tasapainoasemaa liike-energia on suurimmillaan. Jousen puristuessa ja venyesssä punnuksen liike-energiaa varastoituu jousen potentiaalienergiaksi. Liike-energiaa varastoituu myös painon potentiaalienergiaksi, kun punnus liikkuu ylöspäin. Vastaavasti painon poteniaalienergia pienenee punnuksen liikkuessa alaspäin. Potentiaalienergia palautuu pääosin liike-energiaksi seuraavaan tasapainoasemaan tultaessa, mutta systeemi menettää hieman mekaanista energiaansa värähtelyn aikana. Energian vähenemisen voi havaita siitä, että nopeuden ääriarvot pienenevät ajan kuluessa.

d. Nopeuden kuvaaja paikan suhteen on ellipsimäinen.

Jousivärähtelijän mekaanisen energian säilymistä kuvaa yhtälö

[[$ \quad \begin {align*}E_k+E_p&=vakio \\ \dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}kx^2&=vakio \end {align*} $]]

Tätä yhtälöä esittää ellipsi [[$ (x, v) $]] -koordinaatistossa. Ideaalivärähtelijälle kuvaaja olisi siis ellipsi.

Yllä olevasta kuvaajasta havaitaan, että se on ellipsin kaltainen, mutta sen puoliakselit pienenevät hieman ajan edetessä. Tämä ilmentää mekaanisen energian pienenemistä.

322. Marsin satelliitti

Planeetan Mars pyörähdysaika akselinsa ympäri on 24,62 tuntia.

Kuinka korkealla Marsin pinnasta sijaitsee rata, jossa satelliitti pysyy saman Marsin pinnan kohdan yläpuolella?
Vastaa perustellen, miksi a-kohdan pinnan kohta voi olla vain ekvaattorilla.

Ratkaisu

a. Satelliitti on tasaisessa ympyräliikkeessä Mars-planeetan ympäri.

Newtonin II lain mukaan satelliittiin vaikuttaa vain yleisen gravitaatiolain mukainen painovoima [[$G=\gamma\dfrac{Mm}{r^2}$]]. Kiihtyvyys taas on ympyrärataehdon mukainen [[$a=a_\text{n}=\dfrac{v^2}{r}$]].

[[$\quad \begin{align}\bar{G}&=m\bar{a}\\ \ \\ G&=ma_\text{n}\\ \ \\ \gamma \dfrac{mM}{r^2}&=m\dfrac{v^2}{r}\\ \ \\ \gamma \dfrac{M}{r}&=v^2\end{align}$]]

Satelliitti on tasaisessa ympyräliikkeessä.

[[$\quad v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{2\pi r}{T}$]]

Sijoitetaan tämä liikeyhtälöön ja ratkaistaan säde.

[[$\quad \begin{align}\gamma \dfrac{M}{r}&=\dfrac{\left(2\pi r\right)^2}{T^2}\\ \ \\ r&=\sqrt[3]{\dfrac{\gamma MT^2}{4\pi^2}}\end{align}$]]

Satelliitin kierrosaika on sama kuin planeetan pyörähdysaika akselinsa ympäri, koska sen halutaan pysyvän saman pisteen yläpuolella. Listataan sijoitettavat arvot.

[[$\quad \begin{align}\gamma &= 6{,}674\cdot 10^{-11} \,\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}\\ M&=6{,}412\cdot 10^{23} \text{ kg}\\ T&=24{,}62 \cdot 60 \cdot 60 \text{ s}\end{align}$]]

Säteeksi saadaan

[[$\quad r\approx 20{,}421\cdot 10^6 \text{ m}=20\, 421\text{ km}$]].

Edellä laskettu etäisyys on satelliitin kiertoradan säde. Lasketaan etäisyys Marsin pinnasta.

[[$\quad h=r-R=20\, 421 \text{ km}-3\,390 \text{ km}=17\,031 \text{ km}\approx 17\,030\text{ km}$]]

Korkeudella 17 030 km.

b. Satelliitti pysyy ympyräradalla, kun nopeus on kohtisuorassa gravitaatiovoimaan nähden.

Kun satelliitti kiertää Marsia, gravitaatiovoiman suunta on kohti Marsin keskipistettä. Satelliitin ympyräradan keskipiste on Marsin keskipisteessä. Jos satelliitti on ekvaattoritason pohjois- tai eteläpuolella, vaikuttaa gravitaatiovoima kohti Marsin keskipistettä, eikä satelliitti pysy saman pinnan kohdan yläpuolella.

Satelliitti voi edelleen kiertää Marsia samassa ajassa kuin Mars pyörähtää akselinsa ympäri, mutta satelliitti on välillä ekvaattoritason pohjoispuolella ja välillä sen eteläpuolella.

153. Tynnyri ja kynnys

Tynnyri (38 kg) on 4,0 cm korkean kynnyksen edessä. Tynnyriä työnnetään niin, että työnnön voima [[$F$]] kohdistuu vaakasuorasti tynnyrin keskikohtaan. Tynnyrin säde on 25,0 cm. Kuinka suuri voima vaaditaan, jotta tynnyri ylittää kynnyksen?

Ratkaisu

Tynnyriin kohdistuvat paino [[$ G $]], työnnön voima [[$ F $]] ja kynnyksen tukivoima [[$ N $]] kuvion mukaisesti. Tarkastellaan rajatapausta, jossa tynnyri on irtoamaisillaan lattiasta. Tällöin lattia ei kohdista tynnyriin tukivoimaa.

Tynnyri on tasapainossa, joten siihen kohdistuva kokonaismomentti pisteen P suhteen on nolla.

[[$ \quad \sum M=0 $]]

[[$ \quad Fr_F-Gr_G=0 $]]

[[$ \quad F=\frac{Gr_G}{r_F} $]]

Painon varsi voidaan laskea pythagoraan lauseen perusteella.

[[$ \quad r^2=r_F^2+r_G^2 $]]

[[$ \quad r_G^{ }=\sqrt{r^2-r_F^2} $]]

Vaadittava voima on

[[$ \quad F=\dfrac{\mathrm{38\ kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\sqrt{\left(25\ cm\right)^2-\left(21\ cm\right)^2}}}{21\ \mathrm{cm}}\approx240\ \mathrm{N} $]]

159. Tukeva penkki

Penkki rakennetaan asettamalla 3,0 metriä pitkä 55 kg:n massainen hirsi vaakasuorasti kahden tuen varaan. Penkin kallistumisen estämiseksi tuet sijoitetaan lähelle sen päitä. Kuinka suuret tuen etäisyydet [[$ d $]] voivat olla hirren päästä mitattuna, jotta penkin päähän voi istua henkilö, jonka massa on 130 kg?

Ratkaisu

Kun hirren vasempaan päähän istuu henkilö niin, että lankku pysyy juuri ja juuri tasapainossa, on lankun voimakuvio kuvan mukainen.

Henkilön paino kohdistuu hirren päähän, lankun oma paino sen keskipisteeseen ja tukivoima tuen kohdalle. Oikeanpuoleinen tuki ei kohdista hirteen tukivoimaa, sillä hirsi on irtoamaisillaan siitä.

Olkoon hirren pituus [[$ L $]]. Tuen suhteen saadaan seuraava momenttiehto.

[[$ \quad \sum M=0 $]]

[[$\quad G_1\cdot d-G_2\cdot \left(\dfrac{L}{2}-d\right)=0$]]

Painon määritelmä

[[$\quad G=mg$]].

Momenttiyhtälö saadaan muotoon

[[$ \quad m_1gd-m_2g\left(\dfrac{L}{2}-d\right)=0 $]].

Ratkaistaan etäisyyden [[$d$]] lauseke.

[[$ \quad m_1gd-m_2g\dfrac{L}{2}+m_2gd=0 $]]

[[$ \quad m_1d+m_2d=m_2\dfrac{L}{2} $]]

[[$ \quad d=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\cdot\dfrac{L}{2} $]]

[[$ \quad d=\mathrm{\dfrac{55\ kg}{130\ kg+55\ kg}\cdot\dfrac{3{,}0\ m}{2}\approx0{,}45\ m} $]]

Tuen etäisyys [[$ d $]] hirren päästä voi olla 0,45 m.

160. Auton painopisteen paikka

Pakettiauto ajetaan tullin tarkistuspisteellä kahden vaa'an päälle. Eturenkaiden alla oleva vaaka näyttää lukemaksi 1 856 kg ja takarenkaiden alla vaaka näyttää lukemaksi 1 320 kg. Pakettiauton pituus on 466,6 cm. Etuakseli sijaitsee 42 cm:n päässä etupuskurista ja taka-akseli 55 cm:n päässä takapuskurista. Kuinka kaukana pakettiauton painopiste sijaitsee etupuskurista?

Ratkaisu

Hahmotellaan kuva tilanteesta.

Newtonin III lain mukaan voima, jolla rengas painaa vaakaa, on yhtä suuri kuin voima, jolla vaaka tukee rengasta.

Auto on tasapainossa etenemisen ja pyörimisen suhteen, joten

[[$ \quad \sum \bar{F}=\bar{0} $]] ja [[$ \sum M_O=0 $]].

Etu- ja takarenkaiden välinen etäisyys on 466,6 cm – 42 cm – 55 cm = 369,6 cm.

Auton kokonaismassa on 1 856 kg + 1 320 kg = 3 176 kg.

Tarkastellaan autoon kohdistuvia momentteja akselin O suhteen ja sovitaan kiertosuunta vastapäivään positiiviseksi. Nyt momenttiehdosta saadaan ratkaistua painopisteen etäisyys akselista O.

[[$\quad N_2\cdot r_2 - G\cdot r_1=0$]]

[[$\quad G\cdot r_1=N_2r_2$]]

[[$\quad r_1=\dfrac{N_2r_2}{G}$]]

[[$\quad r_1=\dfrac{1 \, 320\text{ kg}\cdot 9{,}81\text{ m}/\text{s}^2 \cdot 3{,}696\text{ m}}{3 \, 176\text{ kg} \cdot 9{,}81\text{ m}/\text{s}^2}\approx 1{,}536 \ \mathrm{m}$]]

Auton painopiste sijaitsee 1,536... m + 0,42 m = 1,956... m, eli noin 2,0 m metrin päässä etupuskurista.

Pakettiauton painopiste sijaitsee noin 2,0 metrin päässä etupuskurista.

161. Lapsi ja aikuinen keinulaudalla

Lapsi (28 kg) istuu keinulaudalla 1,3 metrin etäisyydellä tukipisteestä. Toisella puolella 2,0 metrin etäisyydellä tukipisteestä istuu aikuinen (59 kg). Kuinka suuri on aikuisen jalkojen ja Maan välinen tukivoima, kun hän kannattelee keinulautaa tasapainossa?

Ratkaisu

Piirretään tilanteen voimakuvio.

Systeemi on tasapainossa. Voimien ja momenttien summa on nolla.

[[$\quad \bar{G}_A+\bar{G}_L+\bar{N}_A+\bar{N}=\bar{0}$]]

[[$\quad -G_A+G_L+N_A+N=0$]]

[[$\quad G_A\cdot r_1-G_L\cdot r_2-N_A\cdot r_1=0$]]

Painon määritelmä

[[$\quad G=mg$]]

[[$\quad m_Ag\cdot r_1-m_Lg\cdot r_2-NA\cdot r_1=0$]]

Ratkaistaan aikuisen tukivoiman lauseke.

[[$\quad N_A=\dfrac{m_Ag\cdot r_1-m_Lg\cdot r_2}{r_1}$]]

[[$\quad m_A=59 \ \mathrm{kg}$]]
[[$\quad m_L=28 \ \mathrm{kg}$]]
[[$\quad g=9{,}81 \ \mathrm{m/s^2}$]]
[[$\quad r_1=2{,}0 \ \mathrm{m}$]]
[[$\quad r_2=1{,}3 \ \mathrm{m}$]]

[[$\quad N_A=400{,}248 \ \mathrm{N}\approx 400 \ \mathrm{N}$]]

Aikuisen jalkojen ja Maan välinen tukivoima on 400 N.

163. Tuettu tanko ja kyltti

Mainoskyltti on kiinnitetty 1,2 m pitkään tankoon, joka on kiinnitetty herkkäliikkeisellä saranalla seinään. Tangon massa on 0,65 kg ja kyltin 0,42 kg. Tanko pysyy vaakatasossa sen päähän kiinnitetyn narun tukemana. Kuinka suuri on narun tankoon kohdistama tukivoima?

Ratkaisu

Tankoon kohdistuvat sen oma paino [[$ G_1 $]] ja kyltin paino [[$ G_2 $]] kuvan mukaisesti. Tangon päähän kohdistuu narun tukivoima T narun suuntaisena. Saranaan kohdistuu seinän tukivoima, jota ei kuitenkaan tarvitse tarkastella narun tukivoiman ratkaisemiseksi.

Tasapainossa tankoon kohdistuvat momentit kumoavat toistensa vaikutuksen saranan suhteen tarkasteltuna. Momenttiehto on seuraavanlainen.

[[$ \quad \sum M=0 $]]

[[$ \quad T\cdot r_T-m_1g\cdot r_1-m_2g\cdot r_2=0 $]]

Kyltin painon varsi r₂ on koko tangon pituus eli 1,2 m. Tangon painon varsi r₁ on puolet tästä ja langan tukivoiman varsi r_T voidaan ratkaista trigonometrisesti.

[[$ \quad T\cdot r_2\cdot \sin35°-m_1g\cdot r_1-m_2gr_2=0 $]]

[[$ \quad T=\dfrac{m_1g\cdot r_1+m_2g\cdot r_2}{r_2\cdot \sin35°} $]]

[[$ \quad T=\mathrm{\dfrac{0{,}65\ kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot0{,}6\ m+0{,}42\ kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot1{,}2\ m}{1{,}2\ m\cdot\sin35°}\approx13\ N} $]]

Narun tankoon kohdistama tukivoima on 13 N.

115. Voiman suuruuden selitys

Kappaletta tuetaan langan avulla yhdestä kohtaa, jolloin mitataan voima [[$F_1$]] tasapainotilan toteutumiseksi (Kuva A).

Voiman vaikutuspaikkaa siirretään, jolloin voima-anturi mittaa voiman [[$F_2$]] (Kuva B). Vastaa perustellen, miksi voiman suuruus muuttuu.
Tukipiste pidetään a-kohdan tilanteessa, mutta voima [[$F_3$]] vaikuttaa vinosti (Kuva C). Vastaa perustellen, miksi voiman suuruus muuttuu a-kohtaan nähden.

Ratkaisu

a. Tangon tukipiste on oikeassa päädyssä ja tanko pyrkii kääntymään sen ympäri vastapäivään. Tankoa kääntää vastapäivään painon momentti. Tämä ei riipu siitä, mistä pisteestä tankoa kannatellaan. Kannattelevan voiman momentin tulee kumota painon momentti, jotta tanko pysyy tasapainossa. Koska painon momentti ei muutu, kannattelevan voimankaan momentti ei saa muuttua.

Momentti lasketaan [[$M=Fr$]]. Koska kuvassa B voiman varsi on pidempi, voiman tulee olla pienempi, jotta momentti olisi sama.

b. Kuten a-kohdassa, niin myöskään tässä tilanteessa painon momentti ei muutu. Kannattelevan voiman tulee kumota painon momentti.

Voiman [[$ F_1 $]] aikaansaama momentti on [[$ F_1r $]].

Jaetaan voima [[$ F_3 $]] voiman vartta kohtisuoraan komponenttiin [[$ F_{3y} $]] ja voiman varren suuntaiseen komponenttiin [[$ F_{3x} $]]. Voiman varren suuntaisen komponentin [[$ F_{3x} $]] aikaansaama momentti on 0 Nm. Voiman vartta vastaan kohtisuoran komponentin aikaansaama momentti on [[$ F_{3y}\cdot r $]]. Tämä saadaan kirjoitettua kulman [[$ \alpha $]] sinin avulla muotoon [[$ F_{3}\sin \alpha \cdot r $]].

Voiman [[$ F_3 $]] aikaansaama momentti on [[$ F_3 \sin \alpha \cdot r $]]. Koska sinin arvo on terävillä kulmilla alle [[$ 1 $]], niin voiman [[$ F_3 $]] on oltava suurempi kuin voiman [[$ F_1 $]], että voimat [[$ F_1 $]] ja [[$ F_3 $]] aikaansaavat yhtäsuuret momentit.

214. Ratanopeus karusellissa

Huvipuistolaitteessa karusellin säde on 4,0 m. Karusellin reunalla oleva henkilö mittaa kännykällä kiihtyvyydeksi 6,2 m/s². Kuinka suurella ratanopeudella henkilö etenee?

Ratkaisu

Tasaisessa ympyräliikkeessä kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä.

[[$ \quad a_n=\dfrac{v^2}{r}\\ \quad v=\sqrt{a_nr} $]]

[[$ \quad a_n=6{,}2 \textrm{ m/s}^2\\ \quad r=4{,}0 \textrm{ m} $]]

[[$ \quad v=4{,}9799598 \textrm{ m/s}\approx 5{,}0 \textrm{ m/s} $]]

Henkilö etenee nopeudella 5,0 m/s.

217. Auto liikenneympyrässä

Auto etenee liikenneympyrässä vakiovauhdilla. Puoleen kierrokseen kuluu 7,5 sekuntia. Radan säde on 15 metriä.

Kuinka suuri on auton kiihtyvyys?
Kuinka suuri on autoon kohdistuva kokonaisvoima, kun sen massa on 1 200 kg?

Ratkaisu

a. Tasaisessa ympyräliikkeessä autoon vaikuttaa normaalikiihtyvyys.

[[$ \quad a_n=\dfrac{v^2}{r} $]]

Tasaisen liikkeen nopeus:

[[$ \quad v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot 2\pi r}{t}=\dfrac{\pi r}{t} $]].

Normaalikiihtyvyys lasketaan lausekkeesta

[[$ \quad a_n=\dfrac{(\pi r)^2}{t^2r}=\dfrac{\pi^2 r}{t^2} $]]

[[$ \quad r=15 \textrm{ m}\\ \quad t=7{,}5 \textrm{ s} $]]

[[$ \quad a_n=2{,}6318945 \textrm{ m/s}^2\approx 2{,}6 \textrm{ m/s}^2 $]]

Kiihtyvyys on 2,6 m/s².

b. Newtonin II lain mukaan [[$ \sum \bar{F}=m\bar{a} $]]

Kokonaisvoiman suuruus:

[[$ \quad \sum F=ma_n $]]

[[$ \quad m=1200 \textrm{ kg}\\ \quad a_n=2{,}6318945 \textrm{ m/s}^2 $]]

[[$ \quad \sum F=3158{,}2734 \textrm{ N}\approx 3{,}2 \textrm{ kN} $]]

Autoon kohdistuva kokonaisvoima on 3,2 kN.

221. Langan jännitysvoima heilurissa

Heiluri laitettiin heilahtelemaan ja sen normaalikiihtyvyys muuttui kuvan mukaisesti. Heilurin langan pituus on 0,75 m. Voima-anturi mittasi langan tukivoiman suuruudeksi 3,55 N heilurin alimmassa asemassa.

Piirrä voimakuvio heilurin ollessa alimmassa asemassa.
Kuinka suuri on punnuksen massa?

Ratkaisu

a. Heilahduksen alimmassa asemassa heilurin punnus on ympyräliikkeessä ja sen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä. Punnukseen vaikuttavat langan tukivoima [[$ T $]] ja paino [[$ G $]].

[[$\quad T=\text{langan tukivoima}$]]

[[$\quad G=\text{paino}$]]

b. Newtonin II lain mukaan

[[$\quad \bar{G}+\bar{T}=m\bar{a} $]]

[[$\quad T-G=ma_n$]]

Painon määritelmä

[[$\quad G=mg$]]

Kun punnus on alimmassa asemassa, punnuksen normaalikiihtyvyys on suurin. Normaalikiihtyvyys on kuvaajasta luettuna [[$6{,}5 \ \mathrm{m/s^2}$]].

[[$\quad T-mg=ma_n$]]

Ratkaistaan massan lauseke.

[[$\quad mg+ma_n=T$]]

[[$\quad m(g+a_n)=T$]]

[[$\quad m=\dfrac{T}{g+a_n}$]]

[[$\quad m=\dfrac{3{,}55 \ \mathrm{N}}{9{,}81 \ \mathrm{m/s^2}+6{,}5 \ \mathrm{m/s^2}}\approx 0{,}22 \ \mathrm{kg}$]]

Punnuksen massa on 0,22 kg.

255. Surmanajo pallon sisäpinnalla

Surmanajossa ajetaan pallon sisällä ekvaattoria pitkin. Pallon halkaisija on 4,0 m. Ajonopeus on 25 km/h. Kuinka suuri renkaan ja pinnan välisen lepokitkakertoimen on vähintään oltava, jotta surmanajo onnistuu?

Ratkaisu

Surmanajaja ei liiku y-suunnassa. Voimat kumoavat toisensa. X-suunnassa ajaja on tasaisessa ympyräliikkeessä.

Painon määritelmä [[$G=mg$]]

Newtonin II lain mukaan

[[$\bar{F}_\mu+\bar{N}+\bar{G}=m\bar{a}$]]

[[$ \begin{aligned} \quad \bar{F}_{\mu}+\bar{G}&=\bar{0}\\ \\ \quad F_{\mu}-G&=0\\ \\ \quad F_{\mu}=G&=mg \end{aligned} $]]

x:

[[$ \begin{aligned} \quad \bar{N}=m\bar{a}\\ \\ \quad N=ma_n \end{aligned} $]]

Kitkan määritelmä [[$ F_{\mu}=\mu N $]]

[[$ \begin{aligned} \quad G&=\mu N\\ \\ \quad mg&=\mu ma_n\\ \\ \quad g&=\mu \dfrac{v^2}{r}\\ \\ \quad \mu&=\dfrac{gr}{v^2} \end{aligned} $]]

[[$ \quad g=9{,}81 \textrm{ m/s}^2\\ \quad r=2{,}0 \textrm{ m}\\ \quad v=25 \textrm{ km/h}=\dfrac{25}{3{,}6} \textrm{ m/s} $]]

[[$ \quad \mu = 0{,}40684032\approx 0{,}41 $]]

Lepokitkakertoimen on oltava vähintään 0,41.