Osa 5 : Taivaan liikeyhtälöt
Taivaan liikeyhtälöt
Tässä kappaleessa selvitellään, että mitä fysiikan lainalaisuuksia taivaalla kulkeviin kohteisiin liittyy.
Johannes Kepler muotoili lait, joiden perusteella kappaleet kulkevat taivaalla. Ne ovat (wikipedia Keplerin lait - wikipedia)
1. Kiertäessään tähteä planeetta liikkuu ellipsin muotoista rataa, jonka toisessa polttopisteessä tähti on.
2. Tähdestä kappaleeseen piirretty jana jättää jälkeensä yhtä pitkinä ajanjaksoina pinta-alaltaan yhtä suuren alueen.
3. Planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden ratojen isoakselien puolikkaiden kuutiot.
Näiden kaavojen (joita ei käydä tällä kurssilla kovin tarkasti) avulla voidaan selvittää erilaisten kiertolaisten kiertoaikoja, etäisyyksiä ja jopa massoja.
Phet-simulaatio tähden ja sen kiertolaisen suhteesta. Voit tarkastella mitä kappaleelle tapahtuu kun sen massa on suurempi tai mitä kappaleelle tapahtuu kun auringon massaa kasvatetaan. Voit saada simulaatiolla aikaiseksi myös ellipsiliikkeen (ellipsi)
Phet-simulaatio
Keplerin kolmatta lakia, joka voidaan myös kirjoittaa muodossa
[[$ \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{T_1^2}{T_2^2} $]]
Yllä olevassa kaavassa [[$ r_1 $]] ja [[$ r_2 $]]tarkoittavat kuinka monta maan ja auringon etäisyyttä on. Toisella puolella taas on aikoja, missä [[$ T_1 $]] on ensimmäisen planeetan kiertoaika auringon ympäri ja [[$ T_2 $]] on toisen planeetan kiertoaika auringon ympäri. Tätä pystyy varsin helposti käyttämään monessa tilanteessa siten, että ottaa etäisyyden yksiköksi maan ja auringon etäisyyden (1AU = 149 600 000km) ja ajaksi maan kiertoajan (1 vuosi = 1a). Näin saadaan esimerkkinä laskettua Jupiterin massa kun tiedetään Jupiterin kiertoaika auringon ympäri. Muokataan kaavaa vielä vähäsen (opettaja voi selittää asian tarkemmin) ja saadaan.
[[$ \frac{r_1^3}{T_1^2} = \frac{r_2^3}{T_2^2} $]]
Kun tiedetään, että maan etäisyys auringosta on 1 (eli [[$ r_1 = 1 $]]) ja myöskin kiertoaika oli yhden vuoden, eli [[$ T_1 = 1 $]].Huomataan, että vasemmalle puolelle tuli pelkästään 1, ja saadaan siis
[[$ 1 = \frac{r_2^3}{T_2^2} $]]
ja saadaan
[[$ r_2^3 = T_2^2 $]]
[[$ r^3 = T^2 \\ r^3 = (12,86)^2 \\ r^3 = 165, ... $]]
Tästä saadaan r ottamalla kuutiojuuri
[[$ r = 5,48... \approx 5,5 $]]
Vastaus: Jupiter on 5,5 AU päässä auringosta.
[[$ (1,666)^3 = T^2 \\ T^2 = 4,62... $]]
Otetaan neliöjuuri, niin saadaan T selville
[[$ T = 2,15... \approx 2,2 $]]
Vastaus: Marsin kiertoaika on 2,2 vuotta
[[$ 0,2 \cdot 365 = 73 $]]
On selkeämpää ilmoittaa vastauksessa, että kiertoaika on 2 vuotta 73 päivää, kuin 2,2 vuotta.
Johannes Kepler muotoili lait, joiden perusteella kappaleet kulkevat taivaalla. Ne ovat (wikipedia Keplerin lait - wikipedia)
1. Kiertäessään tähteä planeetta liikkuu ellipsin muotoista rataa, jonka toisessa polttopisteessä tähti on.
2. Tähdestä kappaleeseen piirretty jana jättää jälkeensä yhtä pitkinä ajanjaksoina pinta-alaltaan yhtä suuren alueen.
3. Planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden ratojen isoakselien puolikkaiden kuutiot.
Näiden kaavojen (joita ei käydä tällä kurssilla kovin tarkasti) avulla voidaan selvittää erilaisten kiertolaisten kiertoaikoja, etäisyyksiä ja jopa massoja.
Phet-simulaatio tähden ja sen kiertolaisen suhteesta. Voit tarkastella mitä kappaleelle tapahtuu kun sen massa on suurempi tai mitä kappaleelle tapahtuu kun auringon massaa kasvatetaan. Voit saada simulaatiolla aikaiseksi myös ellipsiliikkeen (ellipsi)
Phet-simulaatio
Keplerin kolmatta lakia, joka voidaan myös kirjoittaa muodossa
[[$ \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{T_1^2}{T_2^2} $]]
Yllä olevassa kaavassa [[$ r_1 $]] ja [[$ r_2 $]]tarkoittavat kuinka monta maan ja auringon etäisyyttä on. Toisella puolella taas on aikoja, missä [[$ T_1 $]] on ensimmäisen planeetan kiertoaika auringon ympäri ja [[$ T_2 $]] on toisen planeetan kiertoaika auringon ympäri. Tätä pystyy varsin helposti käyttämään monessa tilanteessa siten, että ottaa etäisyyden yksiköksi maan ja auringon etäisyyden (1AU = 149 600 000km) ja ajaksi maan kiertoajan (1 vuosi = 1a). Näin saadaan esimerkkinä laskettua Jupiterin massa kun tiedetään Jupiterin kiertoaika auringon ympäri. Muokataan kaavaa vielä vähäsen (opettaja voi selittää asian tarkemmin) ja saadaan.
[[$ \frac{r_1^3}{T_1^2} = \frac{r_2^3}{T_2^2} $]]
Kun tiedetään, että maan etäisyys auringosta on 1 (eli [[$ r_1 = 1 $]]) ja myöskin kiertoaika oli yhden vuoden, eli [[$ T_1 = 1 $]].Huomataan, että vasemmalle puolelle tuli pelkästään 1, ja saadaan siis
[[$ 1 = \frac{r_2^3}{T_2^2} $]]
ja saadaan
[[$ r_2^3 = T_2^2 $]]
Esimerkki 1.
Jupiterin kiertoaika auringon ympäri on 12,86 vuotta. Kuinka kaukana Jupiter on auringosta? Tässä ajatellaan Jupiterin kulkevan ympyrärataa, mutta oikeasti kierretään aina ellipsirataa. Käytetään kaavaa[[$ r^3 = T^2 \\ r^3 = (12,86)^2 \\ r^3 = 165, ... $]]
Tästä saadaan r ottamalla kuutiojuuri
[[$ r = 5,48... \approx 5,5 $]]
Vastaus: Jupiter on 5,5 AU päässä auringosta.
Esimerkki 2.
Marsin etäisyys auringosta on 1,666AU. Laske Marsin kiertoaika[[$ (1,666)^3 = T^2 \\ T^2 = 4,62... $]]
Otetaan neliöjuuri, niin saadaan T selville
[[$ T = 2,15... \approx 2,2 $]]
Vastaus: Marsin kiertoaika on 2,2 vuotta
Vinkki
Jos tarvitsee muuttaa esim. 2,2 vuotta päiviksi, niin kerro desimaaliosa 365:llä, niin saat päivät desimaaliosasta.[[$ 0,2 \cdot 365 = 73 $]]
On selkeämpää ilmoittaa vastauksessa, että kiertoaika on 2 vuotta 73 päivää, kuin 2,2 vuotta.