4.1

4.1 Käänteisfunktio ja sen derivaatta

Määritelmä

Olkoon funktiot f:A(Määrittely joukko)→B(arvojoukko) ja g:B→A

f ja g ovat toistensa käänteisfunktiota, jos

g(f(x))=X kaikilla x∈A

f(g(y))=Y kaikilla y∈B

402

$f\left(x\right)=3x{,}\ g\left(x\right)=\frac{x}{3}$

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(3x\right)=\frac{3x}{3}=x$
$f\left(g\left(x\right)\right)=3\left(\frac{x}{3}\right)=x$

Ovat toistensa käänteisfunktiota

- $f^{-1}\left(y\right)=x\ joss\ f\left(x\right)=y$

Esim. $f\left(1\right)=7$ , $f^{-1}\left(7\right)=1$

- Jos funktio määrittelyjoukko on jokin väli ja funtki oon monotoninen tälä välillä, on funtkiolal käänteisfunktio

- Funktion f arojoukko on funktion $f^{-1}$ määrittelyjoukko ja f:n määrittelyjoukko on funktion $f^{-1}$ arvojoukko

- Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen:

1. Merkitse f(x)=y ja ratkaise siitä x

2. Vaihda x⇔y

3. Kirjoita muodossa $f^{-1}\left(x\right)=y$

Esimerkki. f(x)=x²+x f:n[0,∞[→[3,∞[

a) Osoita, että funktiolla on käänteisfunktio. Mikä on sen määrittelyjoukko?

b) Määritä $f^{-1}\left(4\right)$

c) Määritä känteisfunktio laseke

Ratkaisu:

$f'\left(x\right)=2x$

Koska x≥0, niin f'(x)≥0 ja f(x) on kasvava eli monotoninen välillä [0,∞[. Siten funktiolla on olemassa käänteisfunktio, jonka määrittelyjoukko on [3,∞[