Kulmakerroin ja muutosnopeus

Suoran sovituksessa saatavan yhtälön keskeinen parametri on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kuvaa lineaarisen funktion muutosnopeutta. Kulmakerroin voidaan määrittää minkä tahansa kahden pisteen välillä, jolloin saadaan keskimääräinen muutosnopeus. Esimerkiksi [[$(t,x)$]]-koordinaatistossa kuvaajalta valittujen pisteiden välinen kulmakerroin on keskinopeus.

Huomaa, että keskinopeus voidaan laskea taulukoitujen arvojen perusteella ilman kuvaajaa. Kahden pisteen välinen keskinopeus ei myöskään ole täsmälleen sama asia kuin koko pistejoukkoon sovitetun suoran kulmakerroin.

Kappaleen keskinopeus välillä 0,0...7,0 s on

[[$ v_k=\dfrac{\Delta x}{\Delta t} =\dfrac{\text{6,0 m}-\text{0,0 m}}{\text{7,0 s}-\text{0,0 s}} \approx \text{0,86 m/s} $]]​

Keskimääräinen muutosnopeus ilmaistaan [[$\Delta$]]-merkkiä käyttäen. Keskinopeus [[$v_k=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$]] tai keskikiihtyvyys [[$a_k=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$]].

Mitä tahansa ajan suhteen laskettua muutosta voidaan kutsua muutosnopeudeksi. Paikan muutos ajan suhteen on nopeus. Nopeuden muutosnopeus ajan suhteen on kiihtyvyys. Radioaktiivisen näytteen ytimien hajoamisten määrän muutosnopeus ajan suhteen on aktiivisuus.

Graafinen derivointi

Jos määritetään käyrän kulmakerrointa pienemmällä ja pienemmällä välillä, päädytään käyrän derivaattaan. Käyrälle piirretty tangentti on suora, joka leikkaa käyrää vain yhdessä pisteessä eli sivuaa käyrää. Käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on kuvaajan derivaatta eli se kuvaa käyrän hetkellistä muutosnopeutta. Videolla tutkitaan paikan kuvaajan avulla kappaleen nopeutta. [[$(t,x)$]]-koordinaatistossa kuvaajalle piirretty tangentti kuvaa kappaleen hetkellistä nopeutta. Käyrälle sijoitetun tangentin kulmakerroin (eng. slope) suurenee mittauksen edetessä, eli kappaleen nopeus kasvaa (käyrä jyrkkenee), kunnes kappale pysähtyy (kuvaaja muuttuu vaakasuoraksi). Kulmakertoimen suuruus on liikkeen hetkellinen nopeus.

​https://peda.net/id/889ec002a0f​

Tangentin kulmakertoimen määrittämistä kutsutaan graafiseksi derivoinniksi. Hetkellinen nopeus ilmoitetaan matemaattisesti [[$v=\dfrac{dx}{dt}$]] (derivoidaan paikan kuvaajaa ajan suhteen).

Graafinen integrointi

Fysiikassa monet suureet määritellään kahden suureen välisenä tulona. Esimerkiksi matka tasaisessa liikkeessä on nopeuden ja ajan tulo, [[$ s=vt $]]​. Tai siirtymän ja ajan muutoksen merkinnöillä: [[$ \Delta x=v\Delta t $]]. Muuttuvassa liikkeessä matka voidaan määrittää vastaavalla periaatteella. Nopeuden kuvaaja jaetaan hyvin aikaväleihin [[$ \Delta t_1 $]]​, [[$ \Delta t_2 $]]..., joissa nopeus on vakio. Tällöin voidaan laskea kappaleen kulkema matka osissa.

[[$ \quad s_1+s_2+s_3... = v_1 \Delta t_1 +v_2 \Delta t_2 +v_3 \Delta t_3+... $]]

Graafisesti "paloittain laskeminen" tarkoittaa pinta-alan määrittämistä. Matemaattinen nimitys menetelmälle on graafinen integrointi. Matkan määrittäminen graafisesti integroimalla merkitään [[$\int vdt$]]. Menetelmää ilmentää alla oleva kuva. Oikeanpuoleisessa kuvassa aikaväli on äärimmäisen lyhyt, jolloin käyrän ja vaaka-akselin väliin jäävä ala tarkasti määritettyä.

Mittausohjelmistossa on toiminto graafisen integroinnin suorittamiselle. Graafisesta esityksestä rajataan sopiva väli ja ohjelmisto määrittää intgraalin arvon ja yksikön.

Esimerkkejä graafisesta integroinnista

Nopeuden muutos
[[$(t,a)$]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa nopeuden muutosta, [[$ \Delta v=\int adt$]]​.

Sähkövaraus
[[$(t,I)$]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa siirtynyttä sähkövarausta, [[$ Q=\int Idt $]]​.

Voiman tekemä työ
[[$(s,F)$]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa voiman tekemää työtä, [[$ W=\int Fds $]]​.

Voiman impulssi
[[$(t,F)$]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa voiman aiheuttamaa impulssia, [[$I=\int Fdt$]].

Arvojen lukeminen kuvaajasta

Pistejoukkoon sovitetulta käyrältä voidaan lukea arvoja, jotka eivät ole mittauspisteitä. Jos luettu arvo on mittauspisteiden välistä, on kyseessä interpolointi. Jos pisteet ovat ennen ensimmäistä mittauspistettä tai viimeisen jälkeen, on kyseessä ekstrapolointi. Ekstrapolointia tehdessä on oltava tiedossa, että käyrän mukainen malli on voimassa. Kuvaajanpiirto-ohjelmissa on mahdollista lukea annettuja arvoja tai sijoittamalla tarvittavat arvot käyrän yhtälöön.

Lasketun sarakkeen tekeminen ja käyttö

Soveltammissa tehtävissä mittausdata aineistoa on käsiteltävä ennen kuin kuvaaja piirretään. Mitattujen suureiden avulla lasketaan uusi suure, joka sijoitetaan kuvaajan akselille. Taulukkoon tehdään uusi laskettu sarake, johon uuden suureen arvot tulostuvat. Pisteitä ei tarvitse laskea yksitellen, vaan ohjelmaan annetaan matemaattinen kaava, joka laskee automaattisesti uudet arvot.

Kuvaajatehtävien aineistossa oleva mittausdata on lähtöarvo, joten siihen ei tarvitse erikseen viitata tehtävää ratkaistaessa. Jos kuitenkin lasketaan uusi sarake, on vastauksessa mainittava uuden lasketun sarakkeen tekeminen ja miten arvot uuteen laskettuun sarakkeeseen saadaan.

Idealisoidun kuvaajan piirtäminen

Tehtävissä voidaan pyytää piirtämään kuvaaja, vaikka erillisiä mittauspisteitä ei anneta. Esimerkiksi kappale liikkuu ensimmäiset 5 sekuntia tasaisesti kiihdyttäen ja seuraavat 5 sekuntia tasaisesti saavuttamallaan loppunopeudella. Piirretään nopeuden kuvaaja. Tällaisissa tehtävässä kuvaajan piirtämiseksi tarvittavat mittauspisteet lasketaan itse. Mittauspisteitä ei tarvitse laskea jokaisen sekunnin kohdalla, vaan riittävät pisteet saadaan, kun on tiedossa piste liikkeen alussa ja loppussa tai liikkeen muuttuessa. Esimerkin tapauksessa on selvitettävä piste hetkellä 0 sekuntia, hetkellä 5 sekuntia (tasaisesti kiihtyvä liike päättyy ja tasainen liike alkaa) ja hetkellä 10 sekuntia. Saadut arvot sijoitetaan kuvaajanpiirto-ohjelmaan. Ideaalisoidussa kuvaajassa käytetään yhdistä pisteet toimintoa kuvaajan saamiseksi.