5.1 Pyörähdyskappaleen tilavuus

s.107 Ennakkotehtävä 1

b) Pyörähdyskappale on ympyräkartio, jonka tilavuus on

$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$

Välillä [0,x] sen korkeus h=x ja pohjan säden on funktion f arvo kohdassa x eli r=x

$V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot x=\frac{1}{3}\pi x^3$

c) $V'\left(x\right)=\pi x^2$

Tilavuusfunktion muutosnopeus kohdassa x on kappeleen poikkileikkausympyrän pinta-ala kohdassa x.

d) Koska tilavuuden muutosnopeus on pohjan pinta-ala, niin saadaan tilavuus välillä [2,6] määrättynä integraalina

$\int_2^6A\left(x\right)dx=\int_2^6\pi x^2dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!2}^6\frac{1}{3}x^3=\pi\left(\frac{1}{3}\cdot6^3-\frac{1}{3}\cdot2^3\right)=69\frac{1}{3}\pi$

Lause

Olkoon f välillä [a,b] jatkuva funktio. Funktion f kuvaajan x-akselin ympäri pyörähdyskappale, jonka tilavuus on

$V=\pi\int_a^bf\left(x\right)^2dx$