2.2

224

$a_n=n-n^2$

Lukujono on

1. kasvava, jos $a_{n+1}>a_n$ kaikialla n=1,2,3, ...

2. vähenevä, jos $a_{n+1}<a_n$ kaikialla n=1,2,3,...

Koska kyseessä olevassa funktiossa yritetään vähentämään n² n:stä, ja n² on melkein aina suurempi kuin n(paitsi lukujonon ensimmäinen jäsen 1, silloin n²=1²=1)

Näin ollen funktio on vähenevä kaikialla, ja se on monotoninen.

$n-n^2=n^2\left(\frac{1}{n}-1\right)\rightarrow\infty\left(0-1\right)=-\infty{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Funktio ei suppenee, se hajantuu.

225

$a_n=\frac{n}{2n+1}$

$a_{n+1}-a_n$

$=\frac{n+1}{2\left(n+1\right)+1}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{n+1}{2n+2+1}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{\left(2n+1\right)\left(n+1\right)-\left(2n+3\right)n}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=\frac{2n^2+n+2n+1-2n^2-3n}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=\frac{1}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}$

Koska n≥1, 2n+3>0 ja 2n+1>0, joten $a_{n+1}-a_n>0$ ja lukujono on kasvava.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=\frac{\frac{n+1}{2\left(n+1\right)+1}}{\frac{n}{2n+1}}$

$=\frac{n+1}{2n+3}\cdot\frac{2n+1}{n}$

$=\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}=1+\frac{1}{2n^2+3n}$

Koska n≥1, 2n+3>0 ja 2n+1>0, joten $a_{n+1}-a_n>0$ ja lukujono on kasvava.

c) $\frac{n}{2n+1}=\frac{n\cdot1}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

226

A–I, B–ei kumpikaan, C–II, D–ei kumpikaan, E–I

228

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta

$a_{n+1}-a_n$

$=\left(1-2\left(n+1\right)\right)-\left(1-2n\right)$
$=\left(1-2n+2\right)-\left(1-2n\right)$
$=1-2n-2-1+2n=-2$
Lukujono on aritmeettien

Koska peräkkäisten jäsenten erotus on negatiivinen, lukujono on vähenevä, eli se on monotoninen.

Kun n→∞, $a_n=1-2n\rightarrow-\infty$ . Lukujono hajaantuu.

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta
$a_{n+1}-a_n$

$=2+\left(-1\right)^{n+1}-\left(2+\left(-1\right)^n\right)$

$=\left(-1\right)^n\left(-1\right)-\left(-1\right)^n=-\left(-1\right)^n\cdot1-\left(-1\right)^n$

$=-\left(-1\right)^n-\left(-1\right)^n$
$=-2\left(-1\right)^n$

Lukujono ei ole aritmeettinen, koska kahden peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio.

Lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksen merkki riippuu siitä, onko n parillinen vai pariton. Lukujono ei ole monotoninen.

Lukujono on 2, −2, 2, −2, 2, …, joten lukujono ei suppene.

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta
$a_{n+1}-a_n$

$=\left(\left(n+1\right)-\frac{1}{n+1}\right)-\left(n-\frac{1}{n}\right)$
$=n+1-\frac{1}{n+1}-n+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}$
$=1-\frac{n}{n\left(n+1\right)}+\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}$
$=1+\frac{-n+n+1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$

Peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen. Koska n ≥ 1, peräkkäisten jäsenten erotus on aina positiivinen. Lukujono on kasvava, eli se on monotoninen. Kun n→∞, $a_n=n-\frac{1}{n}\rightarrow\infty$ . Lukujono hajaantuu.

230
a)
$a_n=e^{\frac{1}{n}}\rightarrow e^0=1{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=\frac{e^{\frac{1}{n+1}}}{e^n}=e^{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}=e^{\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}}=e^{-\frac{1}{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}$
Koska n ≥ 1, $\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0{,}\ jolloin\ e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}>1\ ja\ \frac{1}{e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}<1.$ Lukujono on vähenevä eli monotoninen.

$a_n=\sqrt[n]{2^{n+1}}=2^{\frac{n+1}{n}}\rightarrow2^{1+\frac{1}{n}}=2^{1+0}=2{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{\frac{n+2}{n+1}}}{2^{\frac{n+1}{n}}}=2^{\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}}=2^{\frac{n\left(n+2\right)-\left(n+1\right)^2}{n\left(n+1\right)}}=2^{\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}}=2^{-\frac{1}{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}$
Koska n ≥ 1, $\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0{,}\ jolloin\ 2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}>1\ ja\ \frac{1}{2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}<1.$

Lukujono on vähenevä eli monotoninen.

233

Tarkastellaan funktiota

$f\left(x\right)=\sqrt[]{x^2+1}-x{,}\ x\ge1$

$f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}-1{,}\ x>1$

Ratkaistaan derivaatan nollakodat

$\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}-1=0$
$\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}=1$

$x=\sqrt[]{x^2+1}$
$x^2=x^2+1$
$0=1$

Deivaatalla ei ole nollakohtia. Derivaatan merkki ei vaihdu määrittelyjoukossa x>1

$f'\left(2\right)=\frac{2}{\ \sqrt[]{5}}-1<0$

Derivaatan merkki on negatiivinen, joten funktio f on vähenevä

Vastaava lukujono on myös vähenevä, joten lukujonon ensimmäinen säsen on suurin

Nyt

$a_1=\sqrt[]{1^2+1}-1=\sqrt[]{2}-1$

$a_n=\sqrt[]{n^2+1}-n=\sqrt[]{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}-n=n\left(\sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}-1\right)\rightarrow0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Koska n ≥ 1, niin $\sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}>1\$ ja $\ \sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}-1>0$ . Lukujonon kaikki arvot ovat positiivisia. Lukujonon jäsenet ovat hyvin lähellä nollaa ja positiivisia.

236

$a_n=\frac{n+10}{n!}$

$a_{n+1}-a_n=\frac{\left(n+1\right)+10}{\left(n+1\right)!}-\frac{n+10}{n!}$

$=\frac{n+11}{\left(n+1\right)n!}-\frac{n+10}{n!}$

$=\frac{n+11-\left(n+1\right)\left(n+10\right)}{\left(n+1\right)n!}$
$=\frac{n+11-n^2-11n-10}{\left(n+1\right)!}$

$=\frac{-n^2-10n+1}{\left(n+1\right)!}$

Koska n ≥ 1, (n+1)!>0

Tutkitaan osoittajan -n²-10n+1 merkkiä

$-n^2-10n+1=0$

$n\approx-10{,}1\ tai\ n\approx0{,}1$

Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Kun n ≥ 1, lausekkeen -n²-10n+1 merkki on negatiivinen.

Lukujonon kahden peräkkäisen termin erotus on siis negatiivinen, joten lukujono on vähenevä.

241
$a_n=\frac{n^4}{2^n}{,}\ n=1{,}\ 2{,}\ 3{,}...$

Tarkstellaan funktiota

$f\left(x\right)=\frac{x^4}{2^x}$
$f'\left(x\right)=\frac{4x^3\cdot2^x-x^4\cdot2^x\cdot\ln2}{\left(2^x\right)^2}=\frac{2^x\cdot x^3\left(4-x\ln2\right)}{2^{2x}}=\frac{x^3\left(4-x\ln2\right)}{2^x}$

Koska x ≥1, niin x³ > 0 ja $2^x>0$ , joten derivaatan merkki riippuu vain lausekkeen 4-xln2 merkistä.

$4-x\ln2=0$

$x\ln2=4$
$x=\frac{4}{\ln2}\approx5{,}77$

$f'\left(5\right)\approx2{,}1>0$

$f'\left(6\right)\approx-0{,}5<0$
$\begin{array}{l|l} &1&&\frac{4}{\ln2}&\\ \hline f'\left(x\right)&&+&&-\\ f\left(x\right)&&\nearrow&&\searrow \end{array}$

Funktio f saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa $x=\frac{4}{\ln2}\approx5{,}77$ . Lukujonon suurin jäsen on siten $a_5$ tai $a_6$

$a_5\approx19{,}5$

$a_6\approx20{,}25$

Lukujopnon suurin jäsen on $a_6$