1.3 Raja-arvo äärettömyydessä

Kun x→∞, muuttujan arvo suurenee rajatta

Kun x→-∞, muuttujan arvo pienee rajatta

Jos funktion raja-arvo äärettömyydessä on b, merkitään

$\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow\infty$

Jos funktion raja-arvo miinus äärettömyydessä on b, merkitään

$\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Lause

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^n}=0\ ja\ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x^n}=0{,}\ n\in\mathbb{Z}_+$

Esimerkki. Määritä

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^3+5}{x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{3x^3}{x^3}+\frac{5}{x^3}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(3+5\cdot\frac{1}{x^3}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(3+5\cdot0\right)=3$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+2x^3\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)$

Tässä $\frac{2}{x}\rightarrow0{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$ . Siis $1+\frac{2}{x}\rightarrow1{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Lisäksi $x^4\rightarrow\infty{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Näin ollen $\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+2x^3\right)=\infty$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x^2+2x}{x^3+2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3\left(\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{4\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x^2}}{1+2\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\right)\rightarrow\frac{4\cdot0+2\cdot0}{1+2\cdot0+0}=\frac{0}{1}=0$
Siis