4.1 Logaritmi

Määritelmä:

Olkoon

$a>0{,}\ a\ne1\ ja\ b>0$

a-kantainen logaritmi $\log_ab$ tarkoittaa lukua x, joka toteuttaa eksponenttiyhtälön $a^x=b$

Toisin sanoen

$a^x=b\ \leftrightarrow\ \log_ab=x$

Vastaa kysymykseen: ''Mihin potenssiin kantalukua a täytyy korottaa, että tulokseksi saadaan b?''

Logaritmin ominaisuuksia

1)

$\log_a1=0\ \ \ \ \ \left|\left(a^{_0}=1\right)\right|$

2)

$\log_aa=1\ \ \ \ \left|\left(a^1=a\right)\right|$

3)

$\log_aa^x=x\ \ \ \ \ \left|a^x=a^x\right|$

4)

$a^{\log_ax}=x$ |(logaritmin määritelmän nojalla)|

Huomautus

Jos logaritmin kantaluku on 10, merkitään

$\log_{10}^{ }x=\lg\ x\left(=\log\ x\right)$

Esim. Määritä

a) $\log_28$

$2^x=8$

$2^x=2^3$
$x=3$

On se luku, johon 2 pitää korottaa, jotta saadaa 8.

Koska $2^3=8$ , niin $\log_28=3$

b) $\log_5\frac{1}{5}$

Merkitään

$\log_5\frac{1}{5}=y$

$5^y=\frac{1}{5}$
$5^y=5^{-1}$
$y=-1$

Esim. Ratkaise yhtälö

a)

$3^x=8$
$x=\log_38\approx1{,}89$

b)

$2\cdot5^{3x}=30\ \ \ \ \ \left|\right|:2$
$5^{3x}=15$

$3x=\log_515\ \ \ \ \ \left|\right|:3$
$x=\frac{\log_515}{3}\approx0{,}56$

c)

$\log_3x=4$
$x=3^4=81$
Lause

Olkoon a>0, a≠1. Kaikilla x>0 ja y>0 pätee

a)
$\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay$

b)
$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$

c)
$\log_ax^r=r\log_ax$

Todistus: a) ks. Kirja s.99

Merkitään

$\log_ax=u\ \rightarrow\ a^u=x$

$\log_ay=v\ \rightarrow\ a^v=y$

Tällöin

b) $\log_a\frac{x}{y}=\log_a\frac{a^u}{a^v}=\log_aa^{u-v}=u-v=\log_ax-\log_ay$

c) $\log_ax^r=\log_a\left(a^u\right)^r=\log_aa^{ur}=ur=ru=r\log_ax$

Esim. Sievennä

a)

$\log_42+\log_432=\log_4\left(2\cdot32\right)=\log_464=3$

koska
$4^3=64$

b)

$\log_5\sqrt[7]{25}=\log_525^{\frac{1}{7}}=\frac{1}{7}\log_525=\frac{1}{7}\cdot2=\frac{2}{7}$

c)

$\log_e3e^2=\log_e3+\log_ee^2=\log_e3+2\log_ee=\log_e3+2\cdot1=\log_e3+2$