3.2 Neperin luku ja eksponenttifunktion derivaatta

Tehtävä:

Tutki geogebralla onko olemassa kantalukua a, jolle eksponenttifunktio

$f\left(x\right)=a^x$

ja sen dervaattafunktio f' ovat täsmälleen samat.

V: On olemassa. Tämä luku on Neperin luku e=2,71828...

Lause

$D\ e^x=e^x$

Esim. Derivoi

a) $\frac{3e^x}{4}$

$D\ \frac{3e^x}{4}=\frac{3}{4}D\ e^x=\frac{3}{4}e^x$

b) $D\left(4e^{6x}+2e\right)$

$D\left(4e^{6x}+2e\right)=4D\ e^{6x}+2D\ e\ \ \ \ \ \left|\right|s\left(x\right)=6x{,}\ u\left(x\right)=e^x{,}\ s'\left(x\right)=6$

$=4\cdot e^{6x}\cdot6+0=24e^{6x}$

c) $D\left(-\frac{5}{e^x}\right)=-5\cdot D\ \frac{1}{e^x}=-5e^{-x}$

$D-5e^{-x}=-5\cdot e^{-x}\cdot-1=5e^{-x}=\frac{5}{e^x}$

d) $f\left(x\right)=2x^3e^x$ ja etsi paikalliset ääriarvokohdat.

$f'\left(x\right)=6x^2\cdot e^x+2x^3\cdot e^x=e^x\left(6x^2+3x^3\right)$

Derivaatan nollakohdat

$e^x=0$
$e^x\ne0$
$\left(e^x>0\ kaikilla\ x\ arvoilla\right)$

tai
$6x^2+2x^3=0$
$2x^2\left(3+x\right)=0$

$2x^2=0$
$x=0$

tai
$3+x=0$
$x=-3$

Selvitetään derivaatan f' merkit testipisteiden avulla.

$\begin{array}{l|l} x&f'\left(x\right)&merkki\\ \hline -4&-32e^{-4}&-\\ -1&4e^{-1}&+\\ 1&8e&+ \end{array}$

Kulkukaavio

$\begin{array}{l|l} &&-3&&0&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\nearrow \end{array}$

Paikallinen minimikohta x=-3

(x=0 on terassikohta)