Kpl.3

3-4

Ganymedes:n kiertoaika on x

$\frac{\left(1{,}8d\right)^2}{x^2}=\frac{\left(4\cdot10^8m\right)^3}{\left(11\cdot10^8m\right)^3}$
$\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11\cdot10^8m\right)^3=x^2\cdot\left(4\cdot10^8m\right)^3$
$x^2=\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11\cdot10^8m\right)^3}{\left(4\cdot10^8m\right)^3}$

$x^2=\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11m\right)^3}{\left(4m\right)^3}$

$x=\sqrt[]{\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11m\right)^3}{\left(4m\right)^3}}$
$x=8{,}208...\approx8{,}2d$

3-6

a) Koska Maalla on suurempi massa

b) Koska Auringolla suurempi massa

3-9

$m_1=420g=0{,}42kg$

$m_2=0{,}059kg$

$r=2{,}0m$

$F=\gamma\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}$
$F=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{0{,}42kg\cdot0{,}059kg}{\left(2{,}0m\right)^2}=4{,}134...\cdot10^{-13}\approx4{,}1\cdot10^{-13}N$

b)
Koska palloihin vaikuttaa ainoastaan gravitaatiovoima
$F=ma\ \leftrightarrow\ a=\frac{F}{m}=\frac{4{,}1\cdot10^{-13}N}{0{,}059g}=6{,}949...\cdot10^{-12}=7{,}0\cdot10^{-12}\ \frac{m}{s^2}$

3-12

Olkoon Maan ja Auringon välissä kappale, jonka massa on m.Kappale sijaitsee Maan ja Aurigon välissä kohdasssa, jossa vetovoimat ovat yhtä suuret. Olkoon x kysytty etäisyys Maan keskipisteestä lähtien.

Maan ja kappaleen välinen gravitaatiovoima on

$F_1=\gamma\frac{m_1m}{x^2}$

Auringon ja kappaleen välinen etäisyys on $r-x$ ja gravitaatiovoima on

$F_2=\gamma\ \frac{m_2m}{\left(r-x\right)^{^2}}$

Kappaleeseen vaikuttaa yhtä suuri Maan ja Auringon vetovoima eli $F_1=F_2$

Ratkaise Etäisyys x yhtälöllä

$\gamma\frac{m_1m}{x^2}=\gamma\frac{m_2m}{\left(r-x\right)^{^2}}\ \ \ \ \ \left|\right|:\gamma$

$\frac{m_1m}{x^2}=\frac{m_2m}{\left(r-x\right)^2}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$
$\frac{m_1}{x^2}=\frac{m_2}{\left(r-x\right)^2}$
$x=\frac{-\left(\sqrt[]{m_1m_2}-m_1\right)r}{m_1-m_2}$