Kuvaaja ja pinta-ala

Graafinen integrointi

Graafinen integrointi

​Kuvaajan alle jäävän pinta-alan likimääräistä määrittämistä kutsutaan graafiseksi integroinniksi. Pinta-ala voidaan määrittää esimerkiksi jakamalla alue sellaisiin monikulmioihin, joiden ala on helppo laskea. Mitä pienempiä monikulmiot ovat, sitä tarkempi tulos saadaan.


Ohjelmistot laskevat kuvaajan alle jäävän pinta-alan hyvin ohuiden suorakulmioiden tai puolisuunnikkaiden avulla, jolloin näiden kuvioiden yhteenlaskettu pinta-ala on sama kuin kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä ala. Pitkän matematiikan kursseilla opitaan integroimaan funktioita, jolloin funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala voidaan määrittää tarkasti.

Esimerkiksi  [[$ (t, I) $]]-koordinaatistossa kuvaajan ja aika-akselin väliin jäävä fysikaalinen pinta-ala kuvaa siirtynyttä sähkövarausta ([[$ \Delta Q=I\Delta t $]]​).

Lyhentämällä aikaväliä saadaan arvioitua [[$ (t, I) $]]-koordinaatiston fysikaaliseksi pinta-alaksi [[$ Q \approx \text{0,25 C} $]]​.

Yleisesti: jos suure saadaan kahden muun suureen tulona, kyseinen suure saadaan määritettyä graafisella integroinnilla.

Esimerkiksi

  • [[$ (t, v) $]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa kappaleen kulkemaa matkaa ([[$ s=v\Delta t $]]).
  • [[$ (s, F) $]]-koordinaatistossa fysikaalinen pinta-ala kuvaa voiman tekemää työtä ([[$ W=Fs $]]).

Esimerkki 1

Kondensaattori ladattiin akulla 6,25 V:n jännitteeseen, minkä jälkeen kondensaattorin annettiin purkautua vastuksen läpi. Kun purkausvirta mitattiin tietokoneavusteisesti, saatiin oheiset mittaustulokset.

Aineisto:
Taulukko: kondensaattori-esimerkki-1.ods (LibreCalc)

  1. Piirrä purkausvirta ajan funktiona.
  2. Kuinka suuri oli ladatun kondensaattorin varaus?


Fysiikan ylioppilaskoe, kevät 2010, tehtävä 7 (muokattu)

Ratkaisu LoggerProlla Ratkaisu Geogebralla