2.3 Geometrisen lukujonon suppeneminen

Lukujono on geometrinen, jos peräkkäiste jäsenten suhde $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ on vakio kaikilal n=1, 2, 3, ...

Geometerinen lukujono on muotoa $\left(a_1{,}\ a_1{,}\ a_1q^2{,}...\right)$ , missä $a_1\ne0$ ja $q\ne0$

n:s jäsen on $a_n=a_1q^{n-1}$

Toisaalta n:s jäsen voidaan esittää muodossa

$a_n=a_1q^{n-1}=a_1q^nq^{-1}=a_1q^n\frac{1}{q}=\frac{a_1}{q}q^n=bq^n$ , missä $b=\frac{a_1}{q}\left(\ne0\right)$

Lause

Geometrinen lukujono suppenee jos peräkkäisten jäsenten suhde on välillä -1 ≤ q ≤ 1.

Tällöin

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0{,}\ kun\ -1<q<1$

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a_1{,}\ kun\ q=1$

Esimerkki. Onko lukujono gerometrinen? Määritä lukujonon raja-arvo. Suppeneeko lukujono?

$a_n=5\cdot1{,}25^{n-1}$

Lukujonon n:sjäsen on mutoa $a_n=a_1q^{n-1}$ , missä $a_1=5{,}\ q=1{,}25$ , joten lukujono on geomterinen.

Tai:

Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhde

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5\cdot1{,}25^{\left(n+1\right)-1}}{5\cdot1{,}25^{n-1}}=\frac{1{,}25^n}{1{,}25^{n-1}}=1{,}25^{n-\left(n-1\right)}=1{,}25$ vakio, joten lukujono on geometrinen lukujono.

Koska peräkkäisten jäsenten suhde q=1,25>1, lukujono hajaantuu. $\lim_{n\rightarrow\infty}5\cdot1{,}25^{n-1}=\infty$ (raja-arvoa ei ole)

$a_n=\frac{4\cdot2^{n+1}}{3^n}=\frac{4\cdot2^n\cdot2^1}{3^n}=\frac{8\cdot2^n}{3^n}=8\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n$

Lukujonon n:s jäsen on muotoa $a_n=bq^n{,}\ missä\ q=\frac{2}{3}{,}\ b=\frac{a_1}{q}=8{,}\ a_1=bq=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$

eli lukujono on geometrinen

Koska q=2/3, niin q∈]-1,1], joten lukujono suppenee ja $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$