Logaritmi

Määritelmä

Olkoon $a>0{,}\ a\ne1\ \text{ja}\ b>0$ . Logaritmi $\log_ab$ tarkoittaa lukua x, joka toteuttaa eksponenttiyhtälön $a^x=b$ eli
$\log_ab=x\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ a^x=b$

Esim. Ratkaise $2^x=8$ .
Tapa 0. Toimii vain sopivilla luvuilla.

$2^x=8$

$2^x=2^3$
$x=3$

Tapa 1.
"2-kantainen potenssi on 8, joten kysytty eksponentti x on 2-kantainen logaritmi 8:sta"
$x=\log_28$
Yhtälön ratkaisu on x = 3.

Tapa 2.
Potenssiinkorotus ja logatrimi "kumoavat toisensa".

$2^x=8$ || $\log_2\left(\right)$

$\log_2\left(2^x\right)=\log_2\left(8\right)$

$x=3$

ja:

$\log_2x=3$ || $2^{\left(\right)}$

$2^{\log_2x}=2^3$

$x=8$

Esim 1. Ratkaise
a) $2^x=11$
b) $5\cdot4^{3x}=30$
c) $\log_5x=4$

Esim 2. Määritä
a) $\log_327$
b) $\log_2\frac{1}{16}$
c) $\log_41$
d) $\log_5\sqrt{5}$

Logaritmien laskusäännöt

$\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_ax-\log_ay$
$\log_ax^r=r\log_ax$

Esim 3.
Sievennä
a) $\log_672-\log_62$
b) $\log_2\sqrt[3]{16}$