Valtakunnalliset valinnaiset opinnot
MAA10 3D-geometria 2 op.
Opintojakso koostuu moduulista MAA10
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla
Yleiset tavoitteet
- syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa
- oppii tutkimaan xyz-koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
- vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
- tutustuu kahden muuttujan funktioon
- osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamisessa sekä vektorilaskennassa.
Keskeiset sisällöt
- vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
- piste- ja ristitulo
- piste, suora ja taso avaruudessa
- kulma avaruudessa
- yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
- kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa
Tarkennuksia sisältöihin
- Vektorit: xyz-avaruuden vektorit. Suoran suuntavektori ja suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tason suuntavektorit ja normaalivektori. Ristitulon laskeminen. Kulmiin liittyviä laskuja vektorien avulla.
- Avaruuskappaleet, sisäkkäiset avaruuskappaleet ja ääriarvosovellukset.
- Kahden muuttujan funktio. Kuvaajan piirtäminen ja havainnointi. Kriittisen pisteen havainnointi kuvaajasta. Funktion arvo ja tasa-arvokäyrä.
Ohjelmistotaidot
- osaa piirtää avaruuden pisteitä, vektoreita, suoria ja tasoja sekä pintoja
- osaa laskea vektorien piste- ja ristitulon
- osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän symbolisesti ja graafisesti
- osaa hyödyntää ohjelmistoja ääriarvosovelluksissa (derivoiminen, nollakohtien ratkaiseminen, kulun havainnointi)
- oppii piirtämään ja havainnoimaan kahden muuttujan funktion kuvaajaa, laskea funktion arvon sekä määrittää ja havainnollistaa tasa-arvokäyriä.
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu monitieteinen ja luova osaaminen sekä yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Opiskeluun luodaan myös ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.
MAA11 Algoritmit ja lukuteoria 2 op.
Opintojakso koostuu moduulista MAA11
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla
Yleiset tavoitteet
- tietää, mikä on algoritmi, sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
- laatii yksinkertaisiin matemaattisiin ongelmiin liittyviä algoritmeja
- oppii ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja
- perehtyy logiikan käsitteisiin
- hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
- osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta
- käyttää ohjelmistoja ohjelmoinnissa ja lukujen tutkimisessa.
Keskeiset sisällöt
- Algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
- vuokaavio
- yksinkertaisten algoritmien, lajittelualgoritmien tai yhtälön numeerisen ratkaisuun liittyvän algoritmin ohjelmointi
- konnektiivit ja totuusarvot
- kokonaislukujenjaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
- Eukleideen algoritmi
- aritmetiikan peruslause
Tarkennuksia sisältöihin
- Logiikan peruskonnektiivit sekä yksinkertaiset totuustaulut.
- Ohjelmointi toteutetaan jollakin ohjelmointikielellä, esimerkiksi Pythonilla.
Ohjelmistotaidot
- Opintojaksossa käytetään ohjelmointia apuna, kun tutkitaan lukujen ominaisuuksia ja erilaisia algoritmeja. Keskeisenä päämääränä on kokonaisuuksien ymmärtäminen ja mielenkiinnon herättäminen.
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen sekä eettisyys ja ympäristöosaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan myös hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.
MAA12 Analyysi ja jatkuva jakauma 2 op.
Opintojakso koostuu moduulista MAA12
Opintojakso arvioidaan numeroarvioinnilla
Yleiset tavoitteet
- syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
- osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
- täydentää integraalilaskennan taitojaan
- perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
- paloittain määritelty funktio
- funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
- jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
- käänteisfunktio
- funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
- epäoleelliset integraalit
- jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen
Tarkennuksia sisältöihin
- Analyysin peruskäsitteet. Kerrataan ja syvennetään opintojaksoissa MAA6 ja MAA7 opiskeltuja analyysin käsitteitä: funktion määrittely- ja arvojoukko, raja-arvo, jatkuvuus ja derivoituvuus, derivaatta ja derivaattafunktio, integraalifunktio ja määrätty integraali. Toispuoleinen raja-arvo ja derivaatta. Esimerkkejä epäjatkuvista funktioista sekä funktioista, jotka ovat jatkuvia mutta eivät ole derivoituvia.
- Jatkuvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Derivaatan merkin yhteys funktion kulkuun ja ääriarvoihin. Sovellukset.
- Käänteisfunktio: olemassaoloehto, määrittely- ja arvojoukko, lausekkeen ratkaiseminen, funktion ja käänteisfunktion kuvaajat.
- Raja-arvot ja epäoleellinen integraali. Raja-arvot äärettömyydessä ja raja-arvona ääretön. Epäoleellisen integraalin määritelmä raja-arvona: tapaukset, joissa integrointiväli rajoittamaton tai funktion arvojoukko rajoittamaton.
- Jatkuvat jakaumat. Tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Todennäköisyyden ja odotusarvon määrittäminen integraalilaskennan keinoin (ohjelmistolla). Normaalijakauman perusominaisuuksien tunteminen ja esimerkkejä normaalijakaumamallin käytöstä sovelluksissa. Normittamisen periaate ja eri normaalijakaumien vertailu. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.
Ohjelmistotaidot
- oppii piirtämään paloittain määritellyn funktion
- osaa tutkia funktioiden jatkuvuutta ja derivoituvuutta kuvaajan avulla sekä laskennallisesti
- osaa määrittää raja-arvoja (myös äärettömyydessä)
- oppii määrittämään käänteisfunktion lausekkeen (yhtälön avulla) ja käänteisfunktion määrittelyjoukon
- osaa laskea epäoleellisia integraaleja raja-arvon avulla
- oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia
- oppii määrittämään normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen sekä ratkaisemaan tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät vaadi normittamista
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu vuorovaikutusosaaminen sekä monitieteinen ja luova osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijoita kannustetaan keskusteluun, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen. Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa myös tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen.