Jos et osaa aiempien tuntien asioita, harjoittele niitä. Palauta tekemäsi tehtävät tämän tunnin palautuskansioon. Kysy apua, jos tarvitset.


Jos osaat jo aiempien tuntien asiat, kokeile Poisson-jakaumaa alla. Sen osaamista ei edellytetä kokeessa, mutta se auttaa ymmärtämään asioita, ja voisin kuvitella yo-kokeissa olevan kysymyksen tästä, jolla mitattaisiin ymmärrystä yleisesti ja kykyä soveltaa.



Poisson-jakauman todennäköisyydet:

[[$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $]]​
Odotusarvo = [[$ \lambda $]]​

Tehtäviä:

P1.
Aapelin asuntoon kesäkuussa vuorokauden aikana lentävien ampiaisten lukumäärä noudattaa poisson-jakaumaa paratmetrilla [[$ \lambda = 0.4 $]]​. Laske (a ja b käsin)
a) Millä todennäköisyydellä Aapelin asuntoon lentää tasan yksi ampiainen?
b) Millä todennäköisyydellä Aapelin asuntoon lentoo nolla ampiaista?
c) Millä todennäköisyydellä Aapelin asuntoon lentää ainakin kolme ampiaista?
d) Mikä on Aapelin asuntoon kesäkuussa lentäneiden ampiaisten lukumäärän odotusarvo?

P2.
Beatricen yritys saa päivässä tilauksia poisson-jakautuneen määrän parametrilla [[$ \lambda = 8.4 $]]. Millä todennäköisyydellä
a) Firma ei saa yhtään tilausta päivässä?
b) Firma ei saa yhtään tilausta koko viikon aikana? (LA ja SU firma on kiinni)
c) Firma saa yli 20 tilausta päivässä?

P3.
Cecilia perustaa vakuutusyhtiön pummillamatkustajille. Hänen tutkimustensa mukaan kuussa saatujen sakkojen lukumäärä noudattaa poisson-jakaumaa parmetrilla [[$ \lambda=0.6 $]]. Sakot ovat 80 euroa.
a) Mikä on matkustajan saamien sakkojen lukumäärän odotusarvo kuussa?
b) Mikä on odotusarvo matkustajan sakkoina maksamalle rahamäärälle kuussa?
c) Millä todennäköisyydellä asiakas tuottaa Cecilian firmalle tappiota, jos vakuutusmaksu on sama kuin b-kohdassa saatu luku?
d) Mikä Cecilian pitäisi laittaa vakuutuksen kuukausimakuksi, jos hän on valmis hyväksymään, että asiakas tuottaa tappiota viiden prosentin todennäköisyydellä? Tämä oli vähän tyhmä kysymys.

Vastaukset:
P1
a) 0.2681
b) 0.6703
c) 0.0079
d) 12 (30 päivää kesäkuussa)

P2
a) 0.000225
b) 0.000225^5 = 5.7665e-19
c) 0.000180

P3
a) 0.6
b) 48
c) 0.4512 (Yhdetkin sakot tekevät asiakkaasta tapiollisen)
d) 180 euroa (Tämä oli vähän dorka kysymys)