Matematiikka 8 - Digi 6
a) Suorakulmio, jonka yksi sivu on positiivisella x-akselilla, yksi sivu negatiivisella y-akselilla ja yksi kärki käyrällä y=ln(x).
b) Ympyrälieriö, joka muodostuu edellisen suorakulmion pyörähdettyä y-akselin ympäri.
c) Ympyrälieriön tilavuus.
Muodostetaan yhtälö ympyrälieriön tilavuudelle
V(x)=π(x)2⋅|y|=π(x)2⋅|ln(x)|
d) Ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus.
Suurin tilavuus on yhtälön V(x) derivaatan jossain nollakohdassa, joka on välillä ]0,1[ tai välin [0,1] päätepisteessä.
Derivaatta:
V′(x)=2πx|ln(x)|+πx⋅sgn(ln(x))
Nollakohdat:
2πxln(x)+πx⋅sgn(ln(x))=0
x=e−12≈0,6065306597 on välillä ]0,1[
Kulkukaavio:
Sijoitetaan x=e−12 funktioon V(x)=π(x)2⋅|ln(x)|
V(e−12)=πe−12≈0,5778636749
Ympyrälieriön suurin tilavuus on πe−12.
b) Ympyrälieriö, joka muodostuu edellisen suorakulmion pyörähdettyä y-akselin ympäri.
c) Ympyrälieriön tilavuus.
Muodostetaan yhtälö ympyrälieriön tilavuudelle
V(x)=π(x)2⋅|y|=π(x)2⋅|ln(x)|
d) Ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus.
Suurin tilavuus on yhtälön V(x) derivaatan jossain nollakohdassa, joka on välillä ]0,1[ tai välin [0,1] päätepisteessä.
Derivaatta:
V′(x)=2πx|ln(x)|+πx⋅sgn(ln(x))
Nollakohdat:
2πxln(x)+πx⋅sgn(ln(x))=0
x=e−12≈0,6065306597 on välillä ]0,1[
Kulkukaavio:
| V′(0,1)=1,13 | V′(0,9)=−2,23 | |||
| 0 | + | e−12 | - | 1 |
| kasvava | maksimi | vähenevä |
Sijoitetaan x=e−12 funktioon V(x)=π(x)2⋅|ln(x)|
V(e−12)=πe−12≈0,5778636749
Ympyrälieriön suurin tilavuus on πe−12.
Kommentit
Kirjaudu sisään lisätäksesi tähän kommentin