Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• paloittain määritelty funktio
• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• käänteisfunktio
• funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit
• jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen

Ohjelmistotaidot 

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

• oppii piirtämään paloittain määritellyn funktion 
• osaa tutkia funktioiden jatkuvuutta ja derivoituvuutta kuvaajan avulla sekä laskennallisesti 
• osaa määrittää raja-arvoja (myös äärettömyydessä) 
• oppii määrittämään käänteisfunktion lausekkeen (yhtälön avulla) ja käänteisfunktion määrittelyjoukon 

• osaa laskea epäoleellisia integraaleja raja-arvon avulla 
• oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia
• oppii määrittämään normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen sekä ratkaisemaan tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät vaadi normittamista 

Tarkennuksia sisältöihin 

• Analyysin peruskäsitteet. Kerrataan ja syvennetään opintojaksoissa MAA6 ja MAA7 opiskeltuja analyysin käsitteitä: funktion määrittely- ja arvojoukko, raja-arvo, jatkuvuus ja derivoituvuus, derivaatta ja derivaattafunktio, integraalifunktio ja määrätty integraali. Toispuoleinen raja-arvo ja derivaatta. Esimerkkejä epäjatkuvista funktioista sekä funktioista, jotka ovat jatkuvia mutta eivät ole derivoituvia (esim. itseisarvofunktio). Opintojaksossa voidaan esim. syventää ja laajentaa derivaattatarkasteluja (mm. 2. kertaluvun derivaatta) tai integroimistekniikoita tai tutustua määrätyn integraalin sovelluksiin (mm. käyrän pituus, pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala, funktion keskiarvo).
• Jatkuvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan jatkuvia. Bolzanon lause: tietyllä välillä jatkuvan funktion erimerkkisten arvojen välissä on nollakohta. Jatkuva funktio voi siis vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa (tai kohdassa, jossa sitä ei ole määritelty). Suljetulla välillä jatkuva funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa sekä kaikki arvot näiden välissä. Derivoituvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan derivoituvia (paitsi juurifunktiot ja itseisarvofunktio kohdassa x = 0). Derivoituva funktio on jatkuva, mutta jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Derivaatan merkin yhteys funktion kulkuun ja ääriarvoihin (ml. monotonisuuden tutkiminen). Sovelluksina esim. yhtälön juurten olemassaolon ja lukumäärän tutkiminen sekä epäyhtälötarkastelut.
• Käänteisfunktio. Ehto olemassaolo: bijektiivisyys. Esim. aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Määrittely- ja arvojoukko. Lausekkeen ratkaiseminen. Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen (mistä seuraa mm., että niiden derivaatat ovat vastinpisteissä toistensa käänteislukuja). Raja-arvot ja epäoleellinen integraali. Raja-arvot äärettömyydessä ja raja-arvona ääretön. Sovelluksena esim. rationaalifunktion asymptootit (pysty- ja vaakasuorat) ja arvojoukko. Raja-arvojen määrittäminen laskemalla (supistukset ja sievennykset, esim. limx→∞(x2+x−−−−−√−x)). Epäoleellisen integraalin määritelmä raja-arvona: tapaukset, joissa integrointiväli rajoittamaton tai funktion arvojoukko rajoittamaton. Jatkuvat jakaumat. Tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Todennäköisyyden ja odotusarvon määrittäminen integraalilaskennan keinoin (ohjelmistolla). Normaalijakauman perusominaisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja esimerkkejä normaalijakaumamallin käytöstä sovelluksissa. Normittamisen periaate ja eri normaalijakaumien vertailu. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.

Laaja-alainen osaaminen

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu vuorovaikutusosaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijoita kannustetaan keskusteluun, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.

Arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.

Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.

Arviointiasteikko on numeroarviointi (4-10).