MAA12

tehtävä 144

Nea 2B
a) ensin 1%:
$5\cdot0{,}99=4{,}95$
$5\cdot1{,}01=5{,}05$
$4{,}95^{10}<5{,}05^{10}$ eli suurin virhe on
$\mid5{,}05^{10}-5^{10}\mid=1021700{,}443$
lasketaan sen suhteellinen virhe
$\frac{1021700{,}443}{5^{10}}=\frac{1021700{,}443}{9765625}\approx0{,}1046221254\approx10\%$
sitten 10%:
$5\cdot0{,}9=4{,}5$
$5\cdot1{,}1=5.5$
$4{,}5^{10}<5{,}5^{10}$ eli suurin virhe on
$\mid5{,}5^{10}-5^{10}\mid=15563891{,}21$
lasketaan sen suhteellinen virhe
$\frac{15563891{,}21}{9765625}\approx1{,}59374246\approx160\%$

b) ensin 1%:
$50\cdot0{,}99=49{,}5$
$50\cdot1{,}01=50{,}5$
$49{,}5^{10}<50{,}5^{10}$ eli suurin mahd. virhe
$\mid50{,}5^{10}-50^{10}\mid\approx1{,}021700443\cdot10^{16}$
lasketaan sen suhteellinen virhe
$\mid\frac{\Delta x}{x}\mid\approx0{,}1046221254\approx10\%$
sitten 10%:
$50\cdot0{,}9=45$
$50\cdot1{,}1=55$
$45^{10}<55^{10}$ eli suurin mahd. virhe
$\mid55^{10}-50^{10}\mid\approx1{,}556389121\cdot10^{17}$
lasketaan sen suhteellinen virhe:
$\mid\frac{\Delta x}{x}\mid\approx1{,}59374246\approx160\%$

tehtävä 69.

69.
a) 743/25

$743:25=29$
$-50$
----------
$243$
$-225$
-----------
$18$

-> eli luku 25 menee lukuun 743 29 kertaa (osamäärä siis 29) ja jakojäännökseksi jää tällöin 18
-> ilmaistaan jakoyhtälön avulla (jaettava=osamäärä x jakaja + jakojäännös)
$743=29\cdot25+18$
-> sitten murtolukuna
$\frac{743}{25}=29+\frac{18}{25}$

b) 32542/257
126
---------------
257 | 32542
- 257
--------
684
- 514
----------
1702
- 1542
-----------
160

-> osamääräksi saadaan siis 26 ja jakojäännökseksi 160
-> jakoyhtälö siis $32542=126\cdot257+180$
-> murtolukuna sama $\frac{32542}{257}=126+\frac{160}{257}$

tehtävä 63

64.
a) binääriluku 110101110 8-järjestelmän luvuksi
b) 8-järjestelmän luku 725361 binääriluvuksi

a) koska $8=2^3$ , eli k=3, jaotellaan luvut kolmen luvun ryhmiin
110 101 110 eli 8-järjestelmässä se on 656

b) 725361 -> muokataan ensin 10-järjestelmän luvuksi, eli
725361 $=7\cdot8^5+2\cdot8^4+5\cdot8^3+3\cdot8^2+6\cdot8+1=240369$
sitten muokataan tämä binääriluvuksi
$240369=131072+109297=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+43761=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+10993$
$=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+2801$
$=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{12}+1\cdot2^{11}+753$
$=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{12}+1\cdot2^{11}+0\cdot2^{10}+1\cdot2^9+241$
$=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{12}+1\cdot2^{11}+0\cdot2^{10}+1\cdot2^9+0\cdot2^8+1\cdot2^7+113$
$=1\cdot2^{17}+1\cdot2^{16}+1\cdot2^{15}+0\cdot2^{14}+1\cdot2^{13}+0\cdot2^{12}+1\cdot2^{11}+0\cdot2^{10}+1\cdot2^9+0\cdot2^8+1\cdot2^7+1\cdot2^6+49$
$49=1\cdot2^5+17$
$17=1\cdot2^4+0\cdot2^3+0\cdot2^2+0\cdot2+1$
eli saatiin binääriluku
111 010 101 011 110 001

tehtävä 61.

61.

$7452=7\cdot8^3+4\cdot8^2+5\cdot8^1+2=3882$
$237=2\cdot8^2+3\cdot8^1+7=128+24+7=135+24=159$

$3882$
x $159$
---------
$34938$
$19410X$
$3882XX$
---------------
$617238$

muunnetaan luku 617238 8-lukujärjestelmään
$617238=2\cdot262144+92950=2\cdot8^6+2\cdot8^5+27414=2\cdot8^6+2\cdot8^5+6\cdot8^4+2838$
$=2\cdot8^6+2\cdot8^5+6\cdot8^4+5\cdot8^3+278=2\cdot8^6+2\cdot8^5+6\cdot8^4+5\cdot8^3+4\cdot8^2+22$
$=2\cdot8^6+2\cdot8^5+6\cdot8^4+5\cdot8^3+4\cdot8^2+2\cdot8^1+6$
eli näin saatiin luvuksi $2265426$

tehtävä 59

59.
a) 743053 ja 207005 summa+tulo
b) $5x^3-6x^2+3x-7$ ja $2x^3-x^2+3$ summa+tulo

a) $743053$ <-summa
+ $207005$
--------------
$950058$

$743053$ <-tulo
x $207005$
--------------
$3715265$
$0000000X$
$0000000XX$
$5201371XXX$
$0000000XXXX$
$1486106XXXXX$
---------------------------
$153815686265$

b) $5x^3-6x^2+3x-7$ <-summa
+ $2x^3-x^2+0x+3$
------------------------------
$7x^3-7x^2+3x-4$

$5x^3-6x^2+3x-7$ <-tulo
x $2x^3-x^2+3$
----------------------------
$15x^3-18x^2+9x-21$
$-5x^5+6x^4-3x^3+7x^2$
$10x^6-12x^5+6x^4-14x^3$
----------------------------------------------------------------
$10x^6-17x^5+12x^4-2x^3-11x^2+9x-21$

tehtävä 60.

60.
83 ja 42 kymmenjärjestelmän lukuja
--> muutos binääreiksi ja sitten summa+tulo
83 $=64+19=2^6+19=1\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+3=1\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+0\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+1$
eli saatiin binääriluku $1010011$
42 $=32+10=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+0$ eli saatiin binääriluku $101010$
sitten lasketaan näiden summa ja tulo
ensin summa:
$1010011$
+ $101010$
--------------
$1111101$ --> tarkistetaan, onko oikein: $2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+1=125$ on
sitten tulo:
$1010011$
x $101010$
---------------
$0000000$
$1010011X$
$0000000XX$
$1010011XXX$
$0000000XXXX$
$1010011XXXXX$
-------------------------
$110110011110$ -> tarkistus: $2^{11}+2^{10}+2^8+2^7+2^4+2^3+2^2+2=3486$ on

Teksti

MAA preli 2018
B6.
a) $y-a=x^2-\left(a-1\right)x$
$y=x^2-\left(a-1\right)x+a$
sijoitetaan a:ksi esimerkiksi vaikka 0 ja 1 ja saadaan paraabelit
$y=x^2-\left(0-1\right)x+0=x^2+x$
$y=x^2-\left(1-1\right)x+1=x^2+1$
muodostetaan yhtälöpari:
$y=x^2+x$ // $\cdot\left(-1\right)$
$y=x^2+1$ lasketaan allekkain yhteen
eli
$-y=-x^2-x$
$y=x^2+1$
$0=-x+1$
$x=1$ sijoitetaan toiseen yhtälöön $y=1^2+1=1+1=2$
eli saatiin yhtälöparin ratkaisuiksi $x=1$ ja $y=2$ , ja jotta voidaan osoittaa kaikkien parven paraabelien kulkevan
tämän pisteen (1,2) kautta, niin sijoitetaan luvut paraabeliparven yhtälöön
$y-a=x^2-\left(a-1\right)x$
$2-a=1^2-\left(a-1\right)\cdot1$
$2-a=1-a+1$
$2-a=2-a$ TOSI ---> tällöin b) tämä piste on (1,2)

ja viimeinen kohta:
MAA preli B6.
c) mikä paraabeliparven paraabeli $y=x^2-\left(a-1\right)x+a$ sivuaa suoraa y=1
tällöin
$y=y$
$x^2-\left(a-1\right)x+a=1$
$x^2-\left(a-1\right)x+a-1=0$ tulee olla vain yksi ratkaisu, eli diskriminantin tulee olla 0
tällöin
$D=0$
$\left(1-a\right)^2-4\cdot1\cdot\left(a-1\right)=0$
$a^2-2a+1-4a+4=0$
$a^2-6a+5=0$ JOSTA SAADAAN
$\left(a-1\right)\left(a-5\right)=0$ tulon nollasääntö, eli
$a-1=0$
$a=1$
tai
$a-5=0$
$a=5$
näin saatiin kaksi mahdollista paraabelia, eli
kun a=1
$y=x^2-\left(1-1\right)x+1=x^2+1$
ja kun a=5
$y=x^2-\left(5-1\right)x+1=x^2-4x+1$

MAA preli 2018

B5.
a) janan pituus on määritetty geogebran avulla, eli noin $9,23\approx9,2$
toisaalta voidaan huomata, että pienempi suorakulmainen kolmio on yhdenmuotoinen suuremman, alkuperäisen kolmion kanssa,
suuremman kolmion sivujen pituudet 18,80 ja $c=\sqrt{18^2+80^2}=82$
pienemmän kolmion toinen kateetti siis
$\frac{82}{2}=41$
voidaan tehdä verranto:
$\frac{x}{18}=\frac{41}{80}$ kerrotaan ristiin
$80x=18\cdot41$
$x=\frac{18\cdot41}{80}\approx9,225\approx9,2$
NÄIN OLLAAN SAATU SAMA RATKAISU KUIN GRAAFISESTIKIN

b) suuremman kolmion pinta-ala on
$A_{kolmio\ A}=\frac{ah}{2}=\frac{18\cdot80}{2}=720$
pienemmän kolmion yksi sivu on puolet hypotenuusasta, eli
$18^2+80^2=c^2$
$c=\sqrt{6724}=82$ eli $82:2=41$
ja koska keskinormaali leikkaa pidemmän kateetin suuremmasta kolmiosta pisteessä (37,98;0)
pienen kolmion toinen sivu on
$80-37,98=42,02$
ja a-kohdan perusteella kolmas sivu on $9,23$
lasketaan pienen kolmion pinta-ala
$A_{kolmio\ B}=\frac{ah}{2}=\frac{9,23\cdot41}{2}=\frac{378,43}{2}\approx189,215$
prosenttiosuus
$\frac{A_{kolmioA}}{A_{kolmioB}}\cdot100\%$
$=\frac{720}{189,215}\cdot100\%\approx380,5195148\%$
suuremman kolmion ala on noi 381% suurempi kuin pienemmän kolmion pinta-ala