1.1 Jaollisuus ja jakoyhtälö

Jakoyhtälö

ESIM 1. Laske 437 : 13 jakokulmassa.

Luku 13 menee 437:ään kertaa ja jää .

Siis kun luku 437 jaetaan luvulla 13, (vaillinainen) osamäärä on ja jakojäännös on .

Luku 437 voidaan siis kirjoittaa yhtälönä:

Jakoyhtälö

Jaettava = osamäärä * jakaja + jakojäännös

Jokainen kokonaisluku a voidaan esittää seuraavassa muodossa, kun n ∈ ℤ₊

a = qn + r , missä q ja r ∈ ℤ, 0 ≤ r < n

ESIM 2. Kirjoita jakoyhtälö laskulle 268 : 11 (”…luvuille 268 ja 11”).
***

ESIM 3. Kirjoita jakoyhtälö luvuille –19 ja 6.

***

HUOM! Olkoon jakaja 5. Tällöin jokainen kokonaisluku on jotain seuraavaa muotoa: (jakoyhtälön a = q * b + r mukaisesti, b = 5)

r = 0:             q * 5 + 0 = 5q
r = 1:             q * 5 + 1 = 5q + 1
r = 2:             q * 5 + 2 = 5q + 2
r = 3:             q * 5 + 3 = 5q + 3
r = 4:             q * 5 + 4 = 5q + 4

Toisin sanoen: Kun luku jaetaan 5:llä, jakojäännös on 0, 1, 2, 3 tai 4.

Vertaa: Jokainen kokonaisluku on joko parillinen (2n) tai pariton (2n + 1); tässä siis b = 2.

ESIM 4. Määritä jakojäännös jakolaskua suorittamatta: 12 674 593 : 4.

***

HUOM! Kun muutetaan kymmenjärjestelmän luku toiseen, käytetään jakoyhtälöä.

ESIM 5. Muuta 145₁₀ viisijärjestelmään.
***

Jaollisuus

Kokonaisluku a on jaollinen luvulla b, jos on olemassa sellainen kokonaisluku c, että

a = bc

Tällöin merkitään b | a (jakorelaatio, luetaan ”b jakaa luvun a” tai ”a jaollinen b:llä”).
Tällöin luku b on luvun a tekijä. Voidaan sanoa myös, että luku a on luvun b monikerta.

ESIM 1. Osoita, että 14 | 1246

***

HUOM!

Jos a ei ole jaollinen luvulla b, niin merkitään
1 | a, a | a, –a | a ja a | 0 kaikilla kokonaisluvuilla a
Kokonaislukujen jaollisuussääntöjä, kirja s. 55.

Jaollisuussäännöt

Kokonaisluku on jaollinen kymmenjärjestelmässä:

yhdellä aina.
itsellään aina.
kahdella, jos se päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8.
kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.
neljällä, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä.
viidellä, jos se päättyy numeroon 0 tai 5.
kuudella, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella tai sen numeroiden summa kerrottuna neljällä on jaollinen kuudella.
seitsemällä, jos seuraava erotus on jaollinen seitsemällä: luvusta poistetaan viimeinen numero ja vähennetään se kahdella kerrottuna jäljelle jääneestä luvusta
kahdeksalla, jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla.
yhdeksällä, jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä.
kymmenellä, jos se päättyy numeroon 0.
yhdellätoista, jos luku, joka saadaan kun luvun numerot vuorotellen lisätään ja vähennetään, on jaollinen 11:llä.

ESIM 2. Jaa luvut alkutekijöihin a) 111 b) 2520.

***

ESIM 3. Onko luku jaollinen luvulla 3, 7, 8, 9 11. a) 2574 b) 11106?

***