Tässä tehtävässä tutkitaan galaksia kiertävien tähtien pyörimisnopeutta ja päätellään havaintojen perusteella, että galaksissa täytyy olla myös sellaista ainetta, jota emme näe: pimeää ainetta.

Kuvassa oikealla on kierteisgalaksi NGC 3198. Sen kirkkaana näkyvä osa käsittää valtaosan galaksin tähdistä ja ulottuu noin kuuden kiloparsekin (6 kpc) etäisyydelle galaksin keskustasta.

Kierteisgalakseissa tähdet kiertävät galaksin keskustaa. Mallinnetaan galaksi massajakaumaltaan symmetriseksi palloksi ja tähtien radat ympyräradoiksi. Tällöin Newtonin gravitaatiolain mukaan etäisyydellä [[$r$]] galaksin keskustasta olevaan tähteen kohdistuva gravitaatiovoima on [[$F=\gamma\dfrac{mM\left(r\right)}{r^2}$]], missä [[$m$]] on tähden massa ja [[$M\left(r\right)$]] on [[$r$]]-säteisen pallon sisään jäävä osuus galaksin massasta.

1. Tehdään ensin oletus, että galaksin massa koostuu vain kirkkaana näkyvän osan säteen [[$r_0$]] sisäpuolelle jäävästä massasta [[$M_0$]], jolloin [[$M\left(r\right)=M_0$]], kun [[$r>r_0$]]. Johda laki, joka tällä oletuksella kuvaa tähden nopeuden riippuvuutta etäisyydestä, kun tähti kiertää galaksin keskustaa kirkkaana näkyvän osan ulkopuolella.
2. Oheisen kuvaajan esittämien mittaustulosten perusteella tähden nopeus on etäisyydestä riippumatta likimain vakio, kun tähti liikkuu ympyräradalla galaksin kirkkaana näkyvän osan ulkopuolella. Johda laki, joka mittaustulosten mukaisen tilanteen vallitessa kuvaa tähden radan sisäpuolelle jäävän galaksin massan [[$M\left(r\right)$]] riippuvuutta radan säteestä [[$r$]], kun [[$r>r_0$]].
3. Mittaustulosten mukaan tähtien nopeus on vakio ainakin 30 kiloparsekin etäisyydelle asti. Tämä on eräs todiste pimeän aineen olemassaolosta. Selitä miksi. Laske myös, kuinka suuri galaksin kokonaismassa vähintään on mittaustulosten perusteella. Kuinka suuri on kirkkaana näkyvän osan osuus tästä kokonaismassasta?

(YO-koe S2018)

---