Pakolliset kurssit

1. Luvut ja lukujonot (MAY1)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• pohtii matematiikan merkitystä yksilön ja yhteiskunnan näkökulmasta
• kertaa ja täydentää lukualueet, kertaa peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskennan periaatteet
• vahvistaa ymmärrystään funktion käsitteestä
• ymmärtää lukujonon käsitteen
• osaa määrittää lukujonoja, kun annetaan alkuehdot ja tapa, jolla seuraavat termit muodostetaan
• saa havainnollisen käsityksen lukujonon summan määrittämisestä
• osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion kuvaajan ja lukujonojen tutkimisessa sekä lukujonoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

• reaaliluvut, peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskenta
• funktio, kuvaajan piirto ja tulkinta
• lukujono
• rekursiivinen lukujono
• aritmeettinen jono ja summa
• logaritmi ja potenssi sekä niiden välinen yhteys
• muotoa , x ∈ℕ olevien yhtälöiden ratkaiseminen
• geometrinen jono ja summa

2. Polynomifunktiot ja -yhtälöt (MAA2)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita
• osaa ratkaista toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkia ratkaisujen lukumäärää
• osaa ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua
• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyhtälöihin ja polynomiepäyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

 

Keskeiset sisällöt

• polynomien tulo ja muotoaolevat binomikaavat
• asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen
• asteen polynomin jakaminen tekijöihin
• polynomifunktio
• polynomiyhtälöitä
• polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

3. Geometria (MAA3)

Tavotteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
• osaa ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa ja geometriaan liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

• kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
• sini- ja kosinilause
• ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
• kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

4. Vektorit (MAA4)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
• osaa tutkia kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla
• ymmärtää yhtälöryhmän ratkaisemisen periaatteen
• osaa tutkia kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä vektoreiden tutkimisessa sekä suoriin ja tasoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

Keskeiset sisällöt

• vektoreiden perusominaisuudet
• vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla
• koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo
• yhtälöryhmän ratkaiseminen
• suorat ja tasot avaruudessa

5. Analyyttinen geometria (MAA5)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
• ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
• syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia yksinkertaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä
  | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä pistejoukon yhtälön tutkimisessa sekä yhtälöiden, yhtälöryhmien, itseisarvoyhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

• pistejoukon yhtälö
• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt
• itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen
• pisteen etäisyys suorasta

6. Derivaatta (MAA6)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä
• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta
• osaa määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat
• osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot
• tietää, kuinka rationaalifunktion suurin ja pienin arvo määritetään
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa ja rationaaliyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisemisessa sekä polynomi- ja rationaalifunktion derivaatan määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

• rationaaliyhtälö ja ‑epäyhtälö
• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
• polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen
• polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

7. Trigonometriset funktiot (MAA7)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• tutkii trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
• osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä 
  sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)
• osaa trigonometristen funktioiden yhteydet ja 
• osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
• osaa tutkia trigonometrisia funktioita derivaatan avulla
• osaa hyödyntää trigonometrisia funktioita mallintaessaan jaksollisia ilmiöitä
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä trigonometristen funktioiden tutkimisessa ja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen funktioiden derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt  

• suunnattu kulma ja radiaani
• trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
• trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
• yhdistetyn funktion derivaatta
• trigonometristen funktioiden derivaatat

8. Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• kertaa potenssienlaskusäännöt mukaan lukien murtopotenssit
• tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
• osaa tutkia juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla
• osaa hyödyntää eksponenttifunktiota mallintaessaan erilaisia kasvamisen ja vähenemisen ilmiöitä
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden tutkimisessa ja juuri-, eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa sekä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktion derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt

• potenssien laskusäännöt
• juurifunktiot ja -yhtälöt
• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
• logaritmifunktiot ja -yhtälöt
• juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat

9. Integraalilaskenta (MAA9)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita
• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan
• osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja integraalifunktion määrittämisessä sekä määrätyn integraalin laskemisessa sovellusongelmissa.

Keskeiset sisällöt  

• integraalifunktio
• alkeisfunktioiden integraalifunktiot
• määrätty integraali
• pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

10. Todennäköisyys ja tilastot (MAA10)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa havainnollistaa diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia sekä määrittää ja tulkita jakaumien tunnuslukuja
• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin
• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä
• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.

Keskeiset sisällöt

• diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma
• jakauman tunnusluvut
• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
• kombinatoriikka
• todennäköisyyksien laskusäännöt
• diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma
• diskreetin jakauman odotusarvo
• normaalijakauma

Valtakunnalliset syventävät kurssit (OPS OPH)

11. Lukuteoria ja todistaminen (MAA11)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• perehtyy logiikan alkeisiin ja tutustuu todistusperiaatteisiin sekä harjoittelee todistamista
• hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin avulla
• syventää ymmärrystään lukujonoista ja niiden summista
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä lukujen ominaisuuksien tutkimisessa.

Keskeiset sisällöt

• konnektiivit ja totuusarvot
• geometrinen todistaminen
• suora, käänteinen ja ristiriitatodistus
• induktiotodistus
• kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö
• Eukleideen algoritmi
• alkuluvut ja Eratostheneen seula
• aritmetiikan peruslause
• kokonaislukujen kongruenssi

12. Algoritmit matematiikassa (MAA12)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• syventää algoritmista ajatteluaan
• osaa tutkia ja selittää, kuinka algoritmit toimivat
• ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan epälineaarisia yhtälöitä numeerisesti
• osaa tutkia polynomien jaollisuutta ja osaa määrittää polynomin tekijät
• osaa määrittää numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä algoritmien tutkimisessa ja laskutoimituksissa.

Keskeiset sisällöt

• iterointi ja Newton-Raphsonin menetelmä
• polynomien jakoalgoritmi
• polynomien jakoyhtälö
• Newton-Cotes-kaavat: suorakaidesääntö, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin sääntö

13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan
• osaa tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
• täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien todennäköisyysjakaumien tutkimiseen
• osaa tutkia lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja derivaatan laskemisessa annetun muuttujan suhteen sekä epäoleellisten integraalien, lukujonon raja-arvon ja sarjan summan laskemisessa sovellustehtävissä.

 

Keskeiset sisällöt  

• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• käänteisfunktio
• kahden muuttujan funktio ja osittaisderivaatta
• funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit
• lukujonon raja-arvo, sarjat ja niiden summa

Soveltavat kurssit (koulukohtaisia)

Kertauskurssi, soveltava kurssi (maa14):

Keskeiset sisällöt
Yhtälöt, epäyhtälöt, funktiot; geometria, vektorit, trigonometria, analyyttinen geometria;
analyysin sovelluksia; todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä.

Talousmatematiikka (maa15)
Keskeiset sisällöt
prosentti, opintotuki, verotus, korko, laina, valuutta

Matematiikan ylioppilastehtävät, soveltava kurssi (maa16):

Keskeiset sisällöt

Kurssilla kerrataan aikaisempien kurssien sisältöjä ja lasketaan mm. ylioppilaskoetehtäviä