Tekoäly matematiikassa

Laskutoimituksia

Pekka ja Jussi ovat yhteensä 42 vuotta. Jussi on 18 vuotta vanhempi kuin Pekka. Muodosta yhtälöpari ja selvitä poikien iät



Lukujen x ja y summa on 100 ja erotus 60. Muodosta yhtälöpari ja ratkaise luvut.



Suorakulmaisen kannan ja korkeuden pituuksien suhde on 2:3. Määritä sivujen pituudet, kun suorakulmion pinta-ala on 54 cm2. 

Taloustiede: hintajousto

Tehtävä: Juha käyttää puolet tuloistaan pizzojen ostamiseen, eli hänen pizza-ostojensa arvo on aina puolet hänen tuloistaan. Oletetaan, että pizzan hinta nousee 10 eurosta 11 euroon. MIkä on Juhan pizzan kysynnän hintajouston arvo?


Vastaus Gemini: 
Selvä, autan sinua laskemaan tämän vaihe vaiheelta. Tämä on klassinen hintajoustotehtävä, joka voidaan ratkaista päättelemällä tai laskemalla.

Tehtävän ydin piilee lauseessa: "Juha käyttää puolet tuloistaan pizzojen ostamiseen". Tämä tarkoittaa, että Juhan pizzoihin käyttämä kokonaissumma (eli kokonaismenot) on aina vakio, olettaen että hänen tulonsa pysyvät samana.

 

Vaihe 1: Ymmärrä kokonaismenojen ja joustavuuden suhde

 

Kysynnän hintajousto ($\epsilon_d$) mittaa, kuinka monta prosenttia kysytty määrä ($Q$) muuttuu, kun hinta ($P$) muuttuu yhden prosentin.

Kokonaismenot ($E$) lasketaan $E = P \times Q$ (Hinta $\times$ Määrä).

Tässä tehtävässä meille kerrotaan, että Juhan kokonaismenot $E$ pizzoihin ovat vakio (aina 50 % tuloista).

Mitä tämä tarkoittaa joustolle?

  • Jos hinta $P$ nousee, määrän $Q$ on pakko laskea täsmälleen saman prosentin verran, jotta tulo $P \times Q$ pysyisi samana.

  • Esimerkiksi, jos hinta nousee 10 %, määrän on laskettava 10 %.

Tätä tilannetta, jossa prosentuaalinen muutos hinnassa johtaa täsmälleen yhtä suureen (mutta vastakkaiseen) prosentuaaliseen muutokseen määrässä, kutsutaan yksikköjoustoksi.

Yksikköjouston arvo on aina -1.

 

Vaihe 2: Todista vastaus laskemalla (valinnainen, mutta hyödyllinen)

 

Voimme myös todistaa tämän käyttämällä tehtävän lukuja (hinta nousee 10 € -> 11 €). Emme tiedä Juhan tuloja, mutta voimme olettaa ne. Valitaan helposti laskettava luku, esimerkiksi 220 €.

  1. Oletetaan tulot: Juhan tulot = 220 €

  2. Lasketaan pizzamenot: Juha käyttää pizzoihin aina puolet tuloistaan, eli $0.5 \times 220 € = 110 €$. Tämä summa pysyy vakiona.

Tilanne 1: Hinta $P_1 = 10 €$

  • Juhan pizzamenot = 110 €

  • Ostettu määrä $Q_1 = \text{Menot} / \text{Hinta} = 110 € / 10 € = \mathbf{11}$ pizzaa.

Tilanne 2: Hinta $P_2 = 11 €$

  • Juhan pizzamenot = 110 € (Tämä on avain, summa pysyy samana!)

  • Ostettu määrä $Q_2 = \text{Menot} / \text{Hinta} = 110 € / 11 € = \mathbf{10}$ pizzaa.

Nyt meillä on kaikki tarvittava jouston laskemiseen:

  • $P_1 = 10$

  • $P_2 = 11$

  • $Q_1 = 11$

  • $Q_2 = 10$

Käytetään hintajouston keskipistemenetelmän kaavaa (tämä on yleisin ja tarkin tapa laskea jousto kahden pisteen välillä):

$$\epsilon_d = \frac{(Q_2 - Q_1) / ((Q_1 + Q_2) / 2)}{(P_2 - P_1) / ((P_1 + P_2) / 2)}$$

  1. Lasketaan määrän prosentuaalinen muutos (yläosa):

     

    $$\frac{(10 - 11)}{((11 + 10) / 2)} = \frac{-1}{(21 / 2)} = \frac{-1}{10.5}$$

  2. Lasketaan hinnan prosentuaalinen muutos (alaosa):

     

    $$\frac{(11 - 10)}{((10 + 11) / 2)} = \frac{1}{(21 / 2)} = \frac{1}{10.5}$$

  3. Lasketaan lopullinen jousto:

     

    $$\epsilon_d = \frac{-1 / 10.5}{1 / 10.5} = \mathbf{-1}$$

 

Vastaus

 

Juhan pizzan kysynnän hintajouston arvo on -1.

Perustelu: Koska Juha käyttää aina vakiosumman rahaa (puolet tuloistaan) pizzoihin, hänen kokonaismenonsa eivät muutu hinnan muuttuessa. Tämä on määritelmän mukaan yksikköjoustavaa kysyntää, jonka arvo on -1. Laskelma vahvistaa tämän lopputuloksen.