MAA2 - FUNKTIOT JA YHTÄLÖT 1 (3 op)

Tavoitteet

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden avulla, tuntee polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
  • osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja matemaattisessa mallintamisessa, polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

  • vahvistaa opintojaksossa MAY1 hankkimiaan yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemiseen sekä funktion tarkasteluun liittyviä taitojaan 
  • oppii sieventämään lausekkeita sekä jakamaan polynomeja tekijöihin 
  • osaa ratkaista opintojaksoon kuuluvia yhtälöitä ja epäyhtälöitä graafisesti ja symbolisesti; 
  • osaa määrittää ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon 
  • oppii tutkimaan, esim. liukusäätimen avulla, miten polynomifunktion kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan 
  • harjoittelee sähköistä vastaamista. 

Keskeiset sisällöt

Keskeiset sisällöt

  • polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
  • 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
  • polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
  • polynomien tekijät
  • potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
  • rationaalifunktiot ja -yhtälöt
  • juurifunktiot ja -yhtälöt

Tarkennuksia sisältöihin 

  • Polynomit: Polynomilausekkeiden sieventäminen ja tekijöihin jako nollakohtien avulla. Polynomilausekkeen muodostaminen nollakohtien ja yhden arvon avulla. Binomikaavat molempiin suuntiin. 
  • Polynomiyhtälöt ja -epäyhtälöt: ensimmäisen ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen, diskriminanttitarkastelut sekä tulon nollasääntö. Sellaiset korkeamman asteen yhtälöt, joiden ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön, kun tekijöihin jaossa hyödynnetään ryhmittelyä ja/tai yhteisen tekijän erottamista. Bikvadraattiset ja muut toisen asteen yhtälöön palautuvat yhtälöt. Yleinen juuri ja potenssiyhtälöt. Polynomiepäyhtälö voidaan ratkaista nollakohtien ja esim. kuvaajan tai testipisteiden avulla (polynomifunktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa). 
  • Funktiot: Toisen ja kolmannen asteen polynomifunktion sekä potenssifunktion kuvaajan tyypilliset piirteet. Funktion määrittelyjoukko (tai määrittelyehto) ja sen vaikutus funktion kuvaajaan ja yhtälöiden ratkaisuihin. Neliöjuuren laskusäännöt ja neliöjuurilausekkeiden sieventäminen. Juuriyhtälön ratkaiseminen ja saadun ratkaisun arvioiminen (tarkistamalla tai yhtälön määrittely- ja neliöön korotus ehdon perusteella). Rationaalilausekkeiden käsittely ja sieventäminen. Yksinkertaiset rationaaliyhtälöt.

Laaja-alaisen osaamisen tavoitteet

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuvat hyvinvointiosaaminen ja vuorovaikutusosaaminen. Hyvinvointiosaamisen korostaminen voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijaa ohjataan tavoitteellisesti tunnistamaan ja hyödyntämään omia vahvuuksiaan ja toisaalta kehittämiskohteitaan sekä huomaamaan, että menestyksellinen matematiikan opiskelu vaatii pitkäjänteistä työntekoa ja sinnikkyyttä. Vuorovaikutusosaaminen näkyy esimerkiksi niin, että opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita, sillä ns. positiivinen kierre imee heikommatkin opiskelijat mukaan.

Ehdotuksia työskentelytavoista

Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä.

Opintojakson arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla voidaan myös ohjata opiskelijoita itse- ja vertaisarvioinnin sekä arviointikeskusteluiden pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista, testeistä tai oppimistehtävistä saaduista arvosanoista. Laaja-alaisen osaamisen osa-alueita arvioidaan formatiivisesti opintojakson aikana tukien opiskelijan oppimista.


Opintojakson arviointi perustuu monipuoliseen näyttöön ja arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Arviointi ohjaa opiskelijaa arvioimaan omaa osaamistaan sekä kehittämään matematiikan osaamistaan ja ymmärtämistään ja pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan.


Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.