Alla on listattu joitakin tärkeimpiä asioita todennäköisyyslaskentaan liittyen. Liitteistä löytyy joukko esimerkkejä, joita voi halutessaan hyödyntää. Tehtävät löytyvät sivun alalaidasta.

Todennäköisyyksien peruskäsitteitä

• Todennäköisyys on tapa mallintaa matemaattisesti epävarmoja tapahtumia.
• Todennäköisyys on luku väliltä[[$\ [0,1].$]] Se voidaan ilmaista prosentti-, desimaali- tai murtolukuna.
• Toisin kuin yleensä, todennäköisyyslaskennan tehtävissä likiarvo hyväksytään yleensä vastaukseksi.
• Varman tapahtuma todennäköisyys on 1 ja mahdottoman 0.
• Tapahtuma [[$\overline{A}$]] on tapahtuman [[$A$]] vastatapahtuma, jos
  a) niillä ei ole yhteisiä alkeistapauksia ja
  b) joko [[$A$]] tai [[$\overline{A}$]] tapahtuu varmasti.
• Vastatapahtuman todennäköisyys on [[$$P(\overline{A})=1-P(A).$$]]
• Klassinen todennäköisyys: Tapahtuman [[$A$]] todennäköisyys on suotuisten alkeistapausten lukumäärä jaettuna kaikkien alkeistapausten lukumäärällä: [[$$P(A)=\frac{k}{n}.$$]]

Tilastollinen ja geometrinen todennäköisyys

• Tapahtuman [[$A$]] tilastollinen todennäköisyys on suotuisten havaintojen lukumäärä jaettuna kaikkien havaintojen lukumäärällä: [[$$P(A)=\frac{\mathrm{suotuisat}\ \mathrm{havainnot}}{\mathrm{kaikki}\ \mathrm{havainnot}}.$$]]
• Tapahtuman [[$A$]] geometrinen todennäköisyys on [[$$P(A)=\frac{\mathrm{tapahtumaa}\  \mathrm{vastaava}\  \mathrm{mitta}}{\text{kaikkia alkeistapauksia vastaava mitta}}.$$]]
• Geometrisessa todennäköisyydessä mainittu mitta voi olla esimerkiksi pituus, pinta-ala, kulma tai tilavuus.

Tapahtumien riippumattomuus ja kertolaskusäännöt

• Tapahtumat [[$A$]] ja [[$B$]] ovat riippumattomia, jos kummankaan tapahtuman toteutuminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Esimerkiksi kahden eri nopanheiton tulokset ovat riippumattomia.
• Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö: Jos tapahtumat [[$A$]] ja [[$B$]] ovat riippumattomia, niin todennäköisyys sille, että molemmat tapahtuvat, on [[$$P(A\text{ ja }B)=P(A) \cdot P(B).$$]]
• Merkintä [[$P(B|A)$]] tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä "[[$B$]] tapahtuu jos [[$A$]] tapahtuu."
• Yleinen kertolaskusääntö: Todennäköisyys sille, että tapahtumat [[$A$]] ja [[$B$]] toteutuvat, on [[$$P(A\text{ ja }B)=P(A) \cdot P(B|A).$$]]

Tapahtumien erillisyys ja yhteenlaskusäännöt

• Matemaattisessa kielenkäytössä sana "tai" pitää sisällään myös sen mahdollisuuden, että molemmat tapahtumat toteutuvat. Esimerkiksi lause "ulkona sataa tai on kylmä" on tosi, mikäli
  1. ulkona sataa mutta ei ole kylmä,
  2. ulkona ei sada mutta on kylmä,
  3. ulkona sataa ja on kylmä.
• Jos sanamuoto on "joko... tai" niin silloin molemmat tapahtumat eivät toteudu, vaan täsmälleen yksi niistä.
• Yhteenlaskusääntö: Todennäköisyys sille, että tapahtuma [[$A$]] tai tapahtuma [[$B$]] toteutuu on [[$$P(A\text{ tai }B)=P(A) + P(B) - P(A\text{ ja }B).$$]]
• Tapahtumat ovat erilliset, jos niillä ei ole yhteisiä alkeistapauksia. Tällöin [[$P(A\text{ ja }B)=0.$]]
• Erillisille tapahtumille [[$$P(A\text{ tai }B)=P(A) + P(B).$$]]

Permutaatio, kombinaatiot ja toistokoe

• Permutaatiot: Luvun [[$n$]] kertoma on [[$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$]].  Kertoman avulla voidaan laskea, kuinka moneen eri järjestykseen [[$n$]] alkiota voidaan asettaa. Näitä eri järjestyksiä kutsutaan permutaatioiksi.
• Esimerkiksi luvun 4 kertoma on [[$4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24,$]] joten 4 alkiota voidaan asettaa yhteensä 24 eri järjestykseen.
• k-permutaatiot: Olkoon [[$n \geq k.$]] Jos [[$n$]] alkion joukosta valitaan [[$k$]] alkiota, jotka laitetaan järjestykseen, niin mahdollisia eri järjestyksiä on [[$$n\cdot(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}.$$]] Näitä järjestyksiä nimitetään [[$k$]]-permutaatioiksi.
• Permutaatioiden ja [[$k$]]-permutaatioiden laskeminen tietokoneella: Speedcrunchissa komennot ovat 4! ja npr(4;2), ja Geogebrassa 4! ja nPr(4,2).
• Olkoon [[$n\geq k.$]] Jos joukossa on [[$n$]] alkiota, niin sen [[$k$]]-alkioisten osajoukkojen eli [[$k$]]-kombinaatioiden lukumäärä on [[$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}.$$]]
• Esimerkiksi [[$2$]]-kombinaatio[[$\ \binom{5}{2}$]]kertoo, kuinka monella tavalla viiden hengen joukosta voi valita kahden hengen ryhmän.
• Merkintä[[$\ \binom{n}{k}$]] luetaan "n yli k:n", ja sitä ei saa sekoittaa jakolaskuun.
• [[$k$]]-kombinaatioita nimitetään myös binomikertoimiksi.
• Toistettaessa [[$n$]] kertaa koetta, jossa jokaisella kerralla onnistumisen todennäköisyys on [[$p$]], saadaan [[$k$]] onnistumista todennäköisyydellä [[$$P(k\text{ onnistumista})=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$$]]
• Esimerkiksi jos noppaa heitetään 10 kertaa, niin saadaan täsmälleen kolme kutosta todennäköisyydellä [[$$P(\text{3 kutosta})=\binom{10}{3}\left(\frac{1}{6}\right)\phantom{}^{3}\left(1-\frac{1}{6}\right)\phantom{}^{10-3}=0,1550\ldots\approx 15\text{,}5\,\%.$$]]

Tehtävät
Valitse seuraavista:

1. Tee vanhoja yo-tehtäviä K18/7, K19/6, S19/7 ja K20/7
2. Kertaa todennäköisyyslaskennan asioita esimerkiksi Juuri 10 -kirjan avulla.