3. Vektori [[$xy$]]-koordinaatistossa
Pistettä vastaava paikkavektori
"Kolme oikealle ja viisi ylös"
Koska vektorin voidaan ajatella kuvaavan tietyn suuruista siirtymää tiettyyn suuntaan, sen avulla voidaan antaa siirtymisohje origosta mihin tahansa paikkaan eli pisteeseen [[$xy$]]-tasossa. Origosta, eli pisteestä [[$O=(0,0)$]] tiettyyn pisteeseen [[$P=(x_p,y_p)$]] osoittavaa vektoria [[$\overline{OP}$]] kutsutaan pisteen [[$P$]] paikkavektoriksi. Luonnollisesti siitä syystä, että kyseinen vektori [[$\overline{OP}$]] kertoo meille reitin origosta paikkaan [[$P$]].Siirtymiset [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan kantavektoreiden [[$\overline{i}$]] ja [[$\overline{j}$]] avulla
Siirtyminen [[$xy$]]-tasossa ilmoitetaan matkoina [[$x$]]-akselin suuntaan ja [[$y$]]-akselin suuntaan. Yhden yksikön mittaista siirtymää [[$x$]]-akselin suunnassa kuvataan vektorilla [[$\bar{i}$]] ja yhden yksikön mittaista siirtymää [[$y$]]-akselin suunnassa vektorilla [[$\bar{j}$]]. Vektorit [[$\bar{i}$]] ja [[$\bar{j}$]] ovat koordinaattiakseleiden kanssa samansuuntaiset yksikkövektorit. Kantavektori [[$\overline{i}$]] osoittaa [[$x$]]-akselin suuntaan ja kantavektori [[$\overline{j}$]] osoittaa [[$y$]]-akselin suuntaan.
Esimerkki
Kuinka origosta päästään pisteeseen [[$(3,5)$]] vektoreiden [[$\bar{i}$]] ja [[$\bar{j}$]] avulla ja kuinka pitkä matka origosta on pisteeseen [[$(3,5)$]]?
Ratkaisu:
Oheisesta kuvasta nähdään, että pistettä [[$P=(3,5)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}$]] on vektoreiden [[$3\bar i$]]ja [[$5\bar j$]] summa.
Vektorin [[$\overline{OP}=3\bar i+5\bar j$]] pituus saadaan laskettua pyhtagoraan lauseella:
[[$|\overline{OP}| = \sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$]]
Vastaus:
Siirtymä origosta pisteeseen [[$(3,5)$]] vektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausuttuna on [[$3\bar i+5\bar j $]] ja etäisyys origosta pisteeseen [[$(3,5)$]] on [[$\sqrt{34}$]].
Paikkavektori
Pistettä [[$P=(x,y)$]] vastaava paikkavektori [[$\overline{OP}=x \overline{i}+y \overline{j}$]]
Vektorin pituus
[[$xy$]]-tason kantavektoreiden [[$\bar i$]] ja [[$\bar j$]] avulla lausutun vektorin
[[$\bar u=x \overline{ i}+y \overline{ j}$]]
pituus [[$\left|\bar u\right|=\sqrt{x^2+y^2}$]].
Pisteiden [[$A$]] ja [[$B$]] välinen vektori
Kuvasta nähdään, että pisteestä [[$A$]] päästään pisteeseen [[$B$]], kun siirrytään yksi oikealle ja kuusi alas. Samaan tulokseen [[$\overline{AB}=\bar i-6\bar j$]] päädytään myös laskemalla erotus [[$\overline{OB}-\overline{OA}.$]] Kahden pisteen välinen vektori muodostetaan aina vähentämällä loppupisteen paikkavektorista alkupisteen paikkavektori.