B2

MATEMATIIKKA B2

Tehtävänanto
"Leena haluaa tutkia kolmannen asteen polynomeja. Hän muodostaa polynomin [[$$ax^3+bx^2+cx+d$$]] kertoimet [[$a$]], [[$b$]], [[$c$]] ja [[$d$]] heittämällä noppaa. Millä todennäköisyydellä hänen polynominsa on kasvava? Jos hän muodostaa samalla tavalla 5 polynomia, niin millä todennäköisyydellä mikään niistä ei ole kasvava? Voit käyttää tilanteen hahmottamisen apuna alla olevaa Geogebra-esimerkkiä, mutta pelkkä kokeilu ei riitä perusteluksi."

(lähde: https://digabi.fi/kokeet/esimerkkitehtavat/matematiikka/matematiikan-esimerkkitehtava-b-osa/)
Luettu 1.9.2017

B2 - GeoGebra

Polynomifunktio f on kasvava, kun derivaatta on suurempaa tai yhtä suurta kuin nolla kaikilla muuttujan x arvoilla.

Näyttökuva 2017-08-26 kello 21.06.23.png
Kertoimet arvotaan nopalla, joten a > 0 ja derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Derivaatta on suurempaa tai yhtä suurta kuin nolla eli f'\ge0, kun derivaattafunktiolla on korkeintaan yksi nollakohta.
Näyttökuva 2017-08-26 kello 21.08.29.png
Derivaatta on 2. asteen polynomifunktio, joten sillä on korkeintaan yksi nollakohta kun diskriminantti on pienempää tai yhtä suuri kuin nolla. Kertoimet a, b ja c arvotaan nopalla. Tehdään 6 x 6 ruudukko, johon merkitään suotuisien alkeistapauksien lukumäärä.
Näyttökuva 2017-08-26 kello 21.16.51.pngSuotuisia alkeistapauksia on yhteensä 167 ja kaikki alkeistapaukset kolmen nopan heitossa ovat
6^3=216. Todennäköisyys, että funktio f on kasvava on
P\left(f\ \mathrm{kasvava}\right)=\frac{167}{216}=0,773...\ \approx0,77
Vastaus: 77% todennäköisyydellä

Geogebralla hieman toisella tavalla

Alku, kuten yllä. Tutkitaan diskriminanttia.
Voidaan luoda taulukot, joissa arvoina on diskriminantin arvot.
Sieppaa.JPG
Saadaan kuusi kappaletta 6*6 taulukkoa, joista kaksi yläpuolella ja loput neljä alapuolella.
Sieppaa.JPG
Oikeastaan meitä ei kiinnosta diskrimininanttien arvot, vaan onko D<=0. Samankaltaisella komennolla saadaan ne valittua.
Kolminkertaisen jono-komennon sisällä on jos-komento jos( diskriminantti >=0, niin arvo on 1, muuten arvo on nolla)

disk2:=Jono(Jono(Jono(Jos((2*b)^2-4*3*a*c<=0,1,0),a,1,6),b,1,6),c,1,6)

Sieppaa.JPG
Koska taulukoissa on kolme sisäkkäistä taulukkoa, yllä olevista ykkösistä saadaan summa kolmella summa komenonlla. Vaihtoehtoisesti Tiivistä-komennolla saadaan lista "samaan tasoon", niin yksi summa komento riittää.
Sieppaa.JPG


B2 - TI-Nspire

Samalla idealla olisi voinut tehdä GeoGebralla tai Casiolla. Geogebran jono-komento olisi tässä kohtaa hyödyllinen.
Sieppaa.JPG
Sieppaa.JPG

TAPA2
Laitetaan taulukkoon luvut 1...216 ja tuotetaan viereen lukujen a,b ja c arvot sekä omaan sarakkeeseen diskriminantin arvo, josta lasketaan suotuisat alkeistapahtumat.

Sieppaa.PNG