B1

MATEMATIIKKA B1

Tehtävänanto
"Kiintopisteiteroinnilla tarkoitetaan kiintopisteyhtälön [[$ f(x)=x $]]​ ratkaisemista seuraavalla tavalla. Valitaan alkuarvaus [[$ x_0 $]]​ ja lasketaan sen avulla [[$ x_1=f(x_0)$]]​, [[$ x_2=f(x_1)=f(f(x_0)) $]]​, [[$ x_3=f(f(f(x_0))) $]]​ jne.
Näin saadaan lukujono [[$ (x_n) $]]​, jonka raja-arvo [[$$ a=\lim_{n \rightarrow \infty}x_n $$]]
on usein, muttei aina, kiintopisteyhtälön ratkaisu, ts. [[$ f(a)=a $]]​.
Tarkastellaan seuraavassa kiintopisteyhtälöä [[$$ \sqrt {|1-x|}=x $$]]​.
(a) Perustele kuvaajien avulla, että yhtälölla on täsmälleen yksi ratkaisu [[$ a\in \mathbb{R} $]]​.
(b) Määritä kiintopisteiteroinnin avulla ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella, kun [[$ x_0=0,5 $]]​.
(c) Mitä kiintopisteiteroinnissa tapahtuu, kun [[$ x_0=10 $]]​, [[$ x_0=104 $]]​, [[$ x_0=10^{10} $]]​ tai [[$ x_0=10^{100} $]]​? Saadaanko näillä alkuarvoilla yhtälön ratkaisun likiarvo?"
Lähde: <https://digabi.fi/kokeet/esimerkkitehtavat/matematiikka/matematiikan-esimerkkitehtava/>. Luettu: 27.8.2017.