A2 tai B2

MATEMATIIKKA A2 TAI B2

Tehtävänanto
"Tehtävä on mukaelma tehtävästä, joka löytyy artikkelista M. Swan, Collaborative Learning in Mathematics.

Alla on 14 riviä jotka sisältävät lauseen, tai lauseen osan.

(a) Valitse ja järjestele rivit niin, että ne muodostavat seuraavan väitteen todistuksen: Jos n on pariton luku, niin n2 on pariton luku. Riittää, että kirjoitat kohtien luvut oikeaan järjestykseen.

(b) Valitse ja järjestele rivit niin, että ne muodostavat seuraavan väitteen todistuksen: Jos n2 on pariton luku, niin n on pariton luku. Riittää, että kirjoitat rivien luvut oikeaan järjestykseen.

Kaikkia kohtia ei välttämättä tarvitse käyttää.

  1. Jos n on pariton
  2. Niin n on pariton
  3. n=2m+1, jollekin kokonaisluvulle m
  4. =2k, missä k=2m2
  5. (2m+1)2=4m2+4m+1
  6. Mutta n2 on pariton
  7. (2m)2=4m2
  8. Joten n2 on pariton
  9. Jos n on parillinen
  10. n=2m, jollekin kokonaisluvulle m
  11. Joten n2 on parillinen
  12. =2k+1, missä k=m(m+1)
  13. Jos n2 on pariton
  14. n2=2m+1, jollekin kokonaisluvulle m"
(lähde: YTL, https://digabi.fi/kokeet/esimerkkitehtavat/matematiikka/matematiikan-esimerkkitehtava-molemmat-osat/, 26.8.2017)

Ratkaisu:

a) Tehtävässä oletetaan, että n on pariton ja siitä pitää päätellä, että n^2 on pariton. Käytetään parittomuuden määritelmää n=2m+1 jollakin kokonaisluvulla m ja tarkastellaan, miltä näyttään^2=\left(2m+1\right)^2 ja sieventämällä saadaan 4m^2+4m+1, josta ottamalla yhteinen tekijä 2 saadaan 2\left(2m^2+2m\right)+1. Merkitsemällä k=2m^2+2m=2m\left(m+1\right) saadaan n^2=2k+1 eli n^2 on pariton. Näin ollen oikea järjestys on seuraava.
1.
3.
5.
12.
8.
 
b) Nyt todistus perustuu vastaoletukseen, eli siihen, että
n olisikin parillinen. Tästä tiedosta yritetään päätellä ristiriita alkuperäisen oletuksen

n^2=2m+1 kanssa, eli että n^2 ei olisikaan pariton. Todistuksen järjestys on seuraava.

9.
10.
7.
4.
11.
6.