Aineistot opitun mittaamisessa

MAA12 - Uutta sisältöä

Kiintopisteiteroinnilla tarkoitetaan kiintopisteyhtälön [[$ f(x)=x $]]​ ratkaisemista seuraavalla tavalla. Valitaan alkuarvaus [[$ x_0 $]]​ ja lasketaan sen avulla [[$ x_1=f(x_0)$]]​, [[$ x_2=f(x_1)=f(f(x_0)) $]]​, [[$ x_3=f(f(f(x_0))) $]]​ jne.
Näin saadaan lukujono [[$ (x_n) $]]​, jonka raja-arvo [[$$ a=\lim_{n \rightarrow \infty}x_n $$]]​
on usein, muttei aina, kiintopisteyhtälön ratkaisu, ts. [[$ f(a)=a $]]​.
Tarkastellaan seuraavassa kiintopisteyhtälöa [[$$ \sqrt {|1-x|}=x $$]]​.

(a) Perustele kuvaajien avulla, että yhtälölla on täsmälleen yksi ratkaisu [[$ a\in \mathbb{R} $]]​.
(b) Määritä kiintopisteiteroinnin avulla ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella, kun [[$ x_0=0,5 $]]​.
(c) Mitä kiintopisteiteroinnissa tapahtuu, kun [[$ x_0=10 $]]​, [[$ x_0=104 $]]​, [[$ x_0=10^{10} $]]​ tai [[$ x_0=10^{100} $]]​? Saadaanko näillä alkuarvoilla yhtälön ratkaisun likiarvo?

(d) LISÄTEHTÄVÄ - Aineistona lause ja sen tulkitseminen edellisessä tehtävässä.
Lause.

Jos [[$ s $]]​
on yhtälön[[$ f(x)=0 $]]​ juuri ja jos yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon[[$ x=g(x) $]] niin, että [[$$ |g'(x)|\leq k<1 $$]]​
jollain yhtälön juuren [[$ x=s $]]​ sisältävällä välillä [[$ I $]]​, niin likiarvojen [[$ x_n $]]​, [[$ n=0, 1, 2, ... $]]​, jono suppenee kohti juurta [[$ s $]] kaikilla välille [[$ I $]] kuuluvilla alkuarvoilla [[$ x_0 $]].

Todistus sivuutetaan.

Tehtävätyyppejä:
1) Voidaanko edellistä lausetta käyttää (c) kohdan perusteluksi? Perustele vastauksesi laskuin.
2) Millaiselta väliltä alkuarvo tulisi valita, jotta se toteuttaisi lauseen ehdon? Voidaan antaa myös hieman apua kokelaalle.
:medium