Aineistot opitun mittaamisessa

MAA3 - Videoaineisto

Sankari on soutuveneessä keskellä ympyrän muotoista järveä ja rannalle vaeltaa nälkäinen hirviö aikeissa syödä tarinamme sankarin. Sankari tietää, että rannalle päästyään hän pystyy juoksemaan lujempaa kuin hirviön ja pakenemaan. Ongelmana on kuitenkin, että sankari on hidas soutamaan ja hirviö juoksunopeus on nelinkertainen verrattuna sankarin soutunopeuteen. Jos hirviö saa sankarin kiinni, hän on mennyttä.


Pystyykö sankari pakenemaan hirviötä? Osoita laskemalla.

MAB5 - Taulukko

Ohessa on taulukko naisten ja miesten bruttoansiotuloista kuussa. Kuvaa naisten ja miesten keskiansioita sopivalla diagrammilla, kun ​haluat
a) korostaa naisten ja miesten välistä palkkaeroa
b) vähätellä naisten ja miesten välistä palkkaeroa.

Liitteet:

MAB5_aineisto_MAOL.xlsx

MAA6/MAB7 - GeoGebra-sovelma

​Tehdas haluaa valmistaa hernekeittotölkin, jonka tilavuus on 0,60 litraa. Miten ympyrälieriön muotoisen tölkin mitat pitää valita, että tölkkiin kuluu mahdollisimman vähän peltiä? Voit käyttää alla olevaa sovelmaa apuna tilanteen tutkimisessa, mutta pelkän sovelluksen käyttö ei riitä ratkaisun perustelemiseen.

​Mitä jos opiskelija pääsee tutkimaan tiedostoa?

MAA7 - GeoGebra-sovelma

Peltiseppä taittelee 30 cm leveästä ja 5,0 m pitkästä metallilevystä kahdella taitoksella sadevesikourun. Peltiseppä leikkaa lopuksi erillisestä metallilevystä kourun poikkileikkauksen muotoiset palat peltiä kourun päihin.
a) Jos kourun sivujen suhde kourun pohjaan on 1:2, niin kuinka suuri on kulman α oltava, että sadevesikourun tilavuus on suurin mahdollinen?
b) Jos kulma α on 40 astetta, niin miten kourun pohjan ja sivujen mitat on valittava, että sadevesikourun tilavuus on suurin mahdollinen? Perustele.

​Mitä jos opiskelija pääsee tutkimaan tiedostoa?

MAA6 - GeoGebra - sovellus

​Tutki, millä [[$k$]]:n arvoilla funktiolla [[$f(x)$]] ei ole lainkaan ääriarvoja.
Ratkaise tehtävä algebrallisesti.

MAA7 - Ratkaisujen tulkitseminen ja kielentäminen

https://peda.net/id/b0059120abe
Oikeat ratkaisut ovat (3), (4) ja (6). (3p)
Yhdistetty funktio derivoidaan [[$Df(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$]], (3p) joten opiskelijat ovat tehneet virheitä seuraavasti:
(1) Derivoitu vain ulkofunktio, sisäfunktion derivaatta puuttuu.
(2) Ulkofunktion derivaatasta puuttuu kerroin. Ts. Potenssifunktion derivoidaan seuraavasti [[$Dx^n=n\cdot x^{n-1}$]]
(5) Sisäfunktio derivoitu virheellisesti. Potenssifunktion derivoidaan seuraavasti [[$Dx^n=n\cdot x^{n-1}$]].
(2p/kohta)

MAA12 - Uutta sisältöä

Kiintopisteiteroinnilla tarkoitetaan kiintopisteyhtälön [[$ f(x)=x $]]​ ratkaisemista seuraavalla tavalla. Valitaan alkuarvaus [[$ x_0 $]]​ ja lasketaan sen avulla [[$ x_1=f(x_0)$]]​, [[$ x_2=f(x_1)=f(f(x_0)) $]]​, [[$ x_3=f(f(f(x_0))) $]]​ jne.
Näin saadaan lukujono [[$ (x_n) $]]​, jonka raja-arvo [[$$ a=\lim_{n \rightarrow \infty}x_n $$]]​
on usein, muttei aina, kiintopisteyhtälön ratkaisu, ts. [[$ f(a)=a $]]​.
Tarkastellaan seuraavassa kiintopisteyhtälöa [[$$ \sqrt {|1-x|}=x $$]]​.

(a) Perustele kuvaajien avulla, että yhtälölla on täsmälleen yksi ratkaisu [[$ a\in \mathbb{R} $]]​.
(b) Määritä kiintopisteiteroinnin avulla ratkaisun likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella, kun [[$ x_0=0,5 $]]​.
(c) Mitä kiintopisteiteroinnissa tapahtuu, kun [[$ x_0=10 $]]​, [[$ x_0=104 $]]​, [[$ x_0=10^{10} $]]​ tai [[$ x_0=10^{100} $]]​? Saadaanko näillä alkuarvoilla yhtälön ratkaisun likiarvo?

(d) LISÄTEHTÄVÄ - Aineistona lause ja sen tulkitseminen edellisessä tehtävässä.
Lause.

Jos [[$ s $]]​
on yhtälön[[$ f(x)=0 $]]​ juuri ja jos yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon[[$ x=g(x) $]] niin, että [[$$ |g'(x)|\leq k<1 $$]]​
jollain yhtälön juuren [[$ x=s $]]​ sisältävällä välillä [[$ I $]]​, niin likiarvojen [[$ x_n $]]​, [[$ n=0, 1, 2, ... $]]​, jono suppenee kohti juurta [[$ s $]] kaikilla välille [[$ I $]] kuuluvilla alkuarvoilla [[$ x_0 $]].

Todistus sivuutetaan.

Tehtävätyyppejä:
1) Voidaanko edellistä lausetta käyttää (c) kohdan perusteluksi? Perustele vastauksesi laskuin.
2) Millaiselta väliltä alkuarvo tulisi valita, jotta se toteuttaisi lauseen ehdon? Voidaan antaa myös hieman apua kokelaalle.
:medium