MAA09
Kertaus, pinta-alat ja tilavuudet
Pinta-alat
[[$ A_1=\int_a^bf\left(x\right)dx $]]
[[$ A_2=-\int_c^dg\left(x\right)dx $]]
[[$ A_3=\int_e^f\left(h\left(x\right)-k\left(x\right)\right)dx $]]
[[$ A=\int_{-5}^1\left(-y^2-5y\right)dy $]]
Pyörähdyskappaleen tilavuus
Poikkileikkauksen ala [[$ A(x)=\pi \cdot (f(x))^2 $]]
Tilavuus on [[$ V=\int_a^b\pi\cdot\left(f\left(x\right)\right)^2dx $]]
Jos pyörähdysakseli on pystyssä, niin integroidaan y:n suhteen alaa y:n avulla
Jos kappale ei ole pyörähdyskappale, niin poikkileikkausala A(x) saadaan jotenkin muuten.
[[$ A_1=\int_a^bf\left(x\right)dx $]]
[[$ A_2=-\int_c^dg\left(x\right)dx $]]
[[$ A_3=\int_e^f\left(h\left(x\right)-k\left(x\right)\right)dx $]]
[[$ A=\int_{-5}^1\left(-y^2-5y\right)dy $]]
Pyörähdyskappaleen tilavuus
Poikkileikkauksen ala [[$ A(x)=\pi \cdot (f(x))^2 $]]
Tilavuus on [[$ V=\int_a^b\pi\cdot\left(f\left(x\right)\right)^2dx $]]
Jos pyörähdysakseli on pystyssä, niin integroidaan y:n suhteen alaa y:n avulla
Jos kappale ei ole pyörähdyskappale, niin poikkileikkausala A(x) saadaan jotenkin muuten.
Tilavuuksia integroimalla
Linkkejä
Pyörähdyskappaleen piirto GeoGebralla: Pyörähdyskappaleen... YouTube
Pyörähdyskappaleen tilavuus: Matikkamatskujen YouTube-video
Tilavuuksia integroimalla: Avaruuskappaleen tilavuus
Tehtävien ratkaisuja:
Sivun 117 tehtävät: MAA09sivu117.pdf
Pyörähdyskappaleen piirto GeoGebralla: Pyörähdyskappaleen... YouTube
Pyörähdyskappaleen tilavuus: Matikkamatskujen YouTube-video
Tilavuuksia integroimalla: Avaruuskappaleen tilavuus
Tehtävien ratkaisuja:
Sivun 117 tehtävät: MAA09sivu117.pdf