MAA4

2.VK ke 31.5. sähköinen koe

4 Vektorien pistetulo:
-Kaavat pistetulon laskemiseksi löytyvät MAOL:n sivulta 35. (kaava 6). Molempia laskutapoja tarvitaan tilanteesta riippuen.
-Vektorien kohtisuoruusehto löytyy samalta sivulta kohdasta 7. Vektorien kohtisuoruutta tutkitaan pääsääntöisesti pistetulon avulla.

s.77 T.168, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 178, 179, 180, 183, 188

4.2 Vektorien välinen kulma:
-Vektorien välistä kulmaa tarkasteltaessa käytetään pistetulon molempia laskutapoja. MAOL:n s.35 kaava 8 on suora seuraus kaavasta 6.
-Muista, että määritettäessä vektorien välistä kulmaa etenkin graafisesti, on vektorien ajateltava alkavan samasta pisteestä.

s. 84 T. 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 203, 204, 205, 206

5 Avaruuden suora ja taso:
-Suoran vektoriyhtälö ja parametri esitys on hyvä hahmottaa.
-Maol:n sivun 40 tietoja "suora avaruudessa" voi käyttää kuitenkin kaavamaisesti yhtälöitä/esityksiä rakennettaessa.
-Avaruuden suoran parametriesityksen määrittämiseksi tarvitaan tieto suoran sijainnista, eli tarvitaan ainakin yksi suoran piste.
Suoran suunta voidaan määrittää suuntavektorin, kahden eri suoran pisteen tai suoran normaalivektorin avulla.

s.94 T. 212, 214, 215, 216, 217, 218, 220, 222, 223, 224, 226, 227, 229, 230

5.2 Taso:

-Lue kirjan sivun 97 laatikko tilanteista, joissa avaruuden taso määräytyy yksikäsitteisesti.
-Lue sivujen 98 ja 99 keltaiset laatikot. Tason parametriesitys on ehkä käyttökelpoisempi muoto tasoa käsiteltäessä.
-Sivulla 102 esitellään tason normaalimuoto, joka on helpohko määrittää erään tason pisteen ja tason normaalivektorin avulla. Vertaa tätä MAOL:n s. 40 löytyvään normaalivektorin ja tason normaalimuodon esitykseen.

s.107 T. 238, 239, 240, 241, 242, 244, 245, 247, 250, 253

5.3 Pisteen etäisyys suorasta ja tasosta:
-Pisteen P etäisyys avaruuden suorasta on määritettävä suoran suuntavektorin ja pisteeseen P päättyvän normaalivektorin avulla. Suuntavektori ja normaalivektori ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

s.116 T. 264, 265, 266

-Pisteen etäisyys tasosta on määritettävissä MAOL:n sivun 40 viimeisellä kaavalla. Tätä varten on muodostettava tason normaalimuotoinen yhtälö.

s. 116 T. 269, 270, 271, 272

Kokeen seitsemästä tehtävästä viiteen vastataan. Yritän rakentaa pakollisen monivalinnan alkuun. Tehtävät tulevat tästä tehtäväjoukosta.





MAA4 1.VK. 4.5.2018 sähköinen koe

1. Yhtälö ryhmä:
s. 11 T. 1. 2, 4, 5, 7, 8, 10, 15, 16, 18, 19

2. Vektorilaskennan perusteita:
-Vektori on suunnattu jana, jolla on pituus ja suunta. 
-Vektori voidaan siirtää koordinaatistossa paikasta toiseen.
-Yhdensuuntaiset vektorit voivat olla samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset.
-Vektorien välinen kulma määritetään samasta pisteestä lähtevien vektorien välisenä kuperana (<180 astetta) kulmana.

s.20 T. 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 35, 36, 39

2.2 vektrorien lakutoimituksia:
-summa: vektorien summa tulkitaan siirtymänä ensimmäisen vektorin alkupisteestä viimeisen yhteenlaskettavan loppupisteeseen. Siirtymä on saatu summavektori.
-Vektorien erotus voidaan tulkita summana. (a-b=a+(-b))
-vektorin b vastavektori -b on b:n kanssa samanmittainen mutta vastakkaissuuntainen vektori.
-Vektorin kertominen positiivisella reaaliluvulla muuttaa vektorin pituutta, ei sen suuntaa.
-Vektorinkertominen negatiivisella reaaliluvulla tekee vektorista vastakkaissuuntaisen ja erimittaisen.
-Luvulla 0 kertominen tekee vektorista nollavektorin, jolle ei ole määritelty suuntaa ja sen pituus on 0.

s. 29 T. 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 56, 57

2.3 Vektorien komponentit:
-Mikä tahansa tason vektori voidaan esittää kahden erisuuntaisen tason vektorin avulla.
-Näitä kahta erisuuntaista tason vektoria nimitetään tason virittäjävektoreiksi tai tason kantavektoreiksi.
-Jokaista pituudeltaan 1-mittaista vektoria kutsutaan yksikkövektoriksi.
-Vektorien komponettiesitys on yksikäsiteinen. Lue kirjan keltainen laatikko sivulta 34. ja MAOL:n sivulta 34 lause 3 "identtisyys".

s. 37 T. 60, 61, 62, 64, 66, 67, 70, 72, 73

3. Vektorit koordinaatistossa:

-XY-tason käyttökelpoisimmat kantavektorit ovat x akselin suuntainen yksikkövektori i ja y-akselin suuntaine yksikkövektori j.
-Tason pisteen P paikkavektori on vektori origosta alkava pisteeseen P päättyvä vektori.
-Tason vektorin pituus saadan laskettua Pythagoraan lauseesta johdetulla tuloksella. Lue keltainen laatikko sivulta 43. Ks. MAOL s. 34 lause 2. "pituus"
-Kahden pisteen välinen vektori saadaan muodostettua koordinaattiakselien suunataisten siirtymien avulla. Siirtymät tehdään yhdistelemällä XY-tason kantavektoreita i ja j.

s. 47 T. 79, 80, 83, 84, 87, 89, 90, 92, 100

3.2 Yhdensuuntaisuus:
-Yksikkövektori on vektorin suuntainen ykkösen mittainen vektori.
-Nollavektorista eroavat vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos ne saadaan toisistaan kertomalla ne jollakin nollasta eroavalla reaaliluvulla.
-Lue sivun 52 keltainen laatikko. Ks. MAOL:n sivun 35 lause 12 "yhdensuuntaisuus".

s. 55 T. 102, 103, 104, 105, 106, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 118, 119

3.3 Avaruuden vektori:
-Avaruuden vektoreilla voidaan liikkua tason lisäksi kolmiulotteisessa tilassa.
-XY-tasossa liikuttiin kantavektoreiden i ja j avulla. Kun liikutaan tilassa tarvitaan kolmas edellisiä vastaan kohtisuora kantavektori k Z-akselin suuntaan.
-Piirrettäess koordinaatistoja käsin, käytetään oikeankäden kolmisormisääntöä: peukalo X, etusormi Y ja keskisormi Z.

s. 62 T. 125, 127, 128, 129, 131, 133, 134

3.4 Avaruuden vektorin ominaisuuksia:
-Kahden pisteen välinen vektori, pisteen paikkavektori ja vektorin pituus määritetään vastaavasti, kuin XY-tason vektoreita tutkittaessa. Kolmas koordinaatti ja kantavektori k tulevat lisäksi mukaan esityksiin.
-Myös vektorien yhdensuuntaisuus tutkitaan samalla tekniikalla kuin tason vektoreille.

s. 68 T. 148, 149, 150, 151, 152, 154, 155, 159, 160

Koetehtävät tulevat edeltävästä tehtävälistasta. (99%)