≡ Navigointi

YO K2014

Tehtävä 5 a

Jääpaakkuun vaikuttavat paino [[$\vec G$]], pinnan tukivoima [[$\vec N$]] ja täysin kehittynyt lepokitka [[$\vec F_{\mu_0}$]]
Jääpaakun voimakuvio
YO_K14_t5_a_kuva1.png
Jääpaakku pysyy paikallaan katolla. Newtonin II lain mukaan
[[$\sum \vec F = \vec 0$]]
[[$\sum \vec N + \vec G + \vec F_{\mu_0} = \vec 0$]]

YO_K14_t5_a_kuva2.png
Voimakolmiosta saadaan
[[$\tan \alpha = \frac{F_{\mu_0}}{N}$]]
Täysin kehittynyt lepokitka on [[$F_{\mu_0} = \mu_0 N$]], jolloin
[[$\tan \alpha = \frac{\mu_0 N}{N} = \mu_0$]]
Lepokitkakerroin on
[[$\mu_0 = \tan \alpha = \tan 25° = 0,466307658 \approx 0,47$]]

Tehtävä 5 b

Jääpaakkuun vaikuttavat paino [[$\vec G$]], pinnan tukivoima [[$\vec N$]] ja liukukitka [[$\vec F_\mu$]]
Jääpaakun voimakuvio
YO_K14_t5_b_kuva1.png
Newtonin II lain mukaan
[[$\sum \vec F = m \vec a$]]
Valitaan kuvan mukainen koordinaatisto

YO_K14_t5_b_kuva2.png
Newtonin II lain mukaiset yhtälöt x- ja y-akselin suunnassa
[[$G_x - F_{\mu} = ma$]]
[[$N - G_y = 0$]]
Painon komponentit
[[$G_x = mg \sin \alpha$]]
[[$G_y = mg \cos \alpha$]]
Liukukitka
[[$F_\mu = \mu N$]]
Ratkaistaan kiihtyvyys
YO_K14_t5_b_wxmaxima.png
Jääpaakun kiihtyvyys on
[[$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$]]

Jääpaakku on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä. Levosta lähtevän jääpaakun liukuma matka on
[[$s = \frac{1}{2}at^2$]]
Ratkaistaan aika
[[$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$]]

Jääpaakun loppunopeus on
[[$v = at = a \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{2sa} = \sqrt{2sg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}$]]
Sijoitetaan
[[$s = 4\text{,}0 \; \text{m}$]], [[$g = 9\text{,}81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$]], [[$\alpha = 25°$]], [[$\mu = 0\text{,}08$]]
Nopeus on
[[$v = 5,2418430319 \; \text{m/s} \approx 5,2 \; \text{m/s}$]]

Tehtävä 5 b v2

Jääpaakkuun vaikuttavat voimat ovat paino [[$\vec G$]], pinnan tukivoima [[$\vec N$]] ja liukukitka [[$\vec F_\mu$]].
Jääpaakun voimakuvio on
voimakuvio_v2.png
Newtonin II lain mukaan
[[$\vec G + \vec N + \vec F_\mu = m \vec a$]]

Valitaan koordinaatisto, jossa positiivinen x-akseli on katon suunnassa alas.
[[$\sum F_x = G_x - F_{\mu} = mg \sin \alpha - \mu N = ma$]]
[[$\sum F_y = N - G_y = N - mg \cos \alpha = 0$]]

Ratkaistaan kiihtyvyys
yhtalonratkaisu_v2.PNG
Jääpaakun kiihtyvyys on
[[$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$]]

Jääpaakku on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä. Levosta lähtevän jääpaakun liukuma matka on
[[$s = \frac{1}{2}at^2$]]
Ratkaistaan aika
[[$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$]]

Jääpaakun loppunopeus on
[[$v = at = a \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{2sa} = \sqrt{2sg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}$]]
Sijoitetaan
[[$s = 4\text{,}0 \; \text{m}$]], [[$g = 9\text{,}81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$]], [[$\alpha = 25°$]], [[$\mu = 0\text{,}08$]]
Nopeus on
[[$v = 5,2418430319 \; \text{m/s} \approx 5,2 \; \text{m/s}$]]