Luku 3

Luku 3

3 eksponentti- ja potenssiyhtälö

pohdittavaa

  1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu.

 

Saksofonisteja tarvitaan 1 ⋅ 10 = 10.

 

Vastaus: 10 saksofonistia

 

 

  1. Nelinkertainen äänenvoimakkuus voidaan laskea 4 = 2 ⋅ 2, joten kaiutinten määrä tulee 10 ⋅ 10 = 100-kertaistaa.

 

Kaiuttimia tarvitaan 1 ⋅ 100 = 100.

 

Vastaus: 100 kaiutinta


 

3.1 Eksponenttiyhtälö ja logaritmi

ALOITA PERUSTEISTA

  1. A Potenssin potenssin laskusäännön mukaan , eli sitä vastaa vaihtoehto II.

 

B Samankantaisten potenssien tulon laskusäännön mukaan

34 ⋅ 35 = 34+5 = 39, eli sitä vastaa vaihtoehto I.

 

C Tulon potenssin laskusäännön mukaan (3 ⋅ 4)5 = 35 ⋅ 45, eli sitä vastaa vaihtoehto IV.

 

D Osamäärän potenssin laskusäännön mukaan , eli sitä vastaa vaihtoehto V.

 

E Samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännön mukaan , eli sitä vastaa vaihtoehto III.

 

Vastaus: A: II, B: I, C: IV, D: V ja E: III

 

 

  1. a) log2 9 = 3,169... ≈ 3,2

 

  1. b) log8 0,5 = −0,333... ≈ −0,3

 

  1. c)

 

  1. d) ln 258 963 = 12,464... ≈ 12,5

 


 

  1. a)  

 

  1. b)

 

  1. c)

 

  1. d)

 

 

  1. a)

 

Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = 6

 

  1. b)

 

Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −3

 

  1. c)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 4 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = 2

 

  1. d)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 5 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = 0

 

  1. e)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x =3

 

 


 

  1. a)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 6 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = 6

 

  1. b)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 9 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −5

 

  1. c)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 11 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −4

 


 

  1. d)

 

Kirjoitetaan yhtälön vasen puoli luvun 8 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −12

 

  1. e)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikeapuoli luvun 13 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −2

 

 

  1. A Yhtälön 6x = 38 ratkaisu on x = log6 38 eli vaihtoehto II.

 

B Yhtälön 38x = 6 ratkaisu on x = log38 6 eli vaihtoehto I.

 

C Yhtälön ex = 38 ratkaisu on x = loge 38 = ln 38 eli vaihtoehto IV.

 

D Yhtälön 10x = 38 ratkaisu on x = log10 38 = lg 38 eli vaihtoehto III.

 

Vastaus: A: II, B: I, C: IV ja D: III


 

  1. a) 13x = 26

 x = log13 26

 x = 1,270...

 x ≈ 1,3

 

Vastaus: x ≈ 1,3

 

  1. b) 4x = 2 300 000

 x = log4 2 300 000

 x = 10,566...

 x ≈ 10,6

 

Vastaus: x ≈ 10,6

 

  1. c) 10x = 154

 x = lg 154

 x = 2,187...

 x ≈ 2,2

 

Vastaus: x ≈ 2,2

 

  1. d) 9x = −81

 

Termi 9x ei annan negatiivista tulosta millään eksponentilla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.

 

Vastaus: ei ratkaisua


 

  1. Farkut maksavat nyt 90 €. Hinta kasvaa vuosittain 1,4 %, joten hinta muuttuu vuosittain 100 % + 1,4 % = 101,4 % = 1,014-kertaiseksi.
  2. a)

Aika (vuotta)

0

1

2

3

4

x

Hinta (€)

90

90 1,014 = 91,26 €

90 1,0142 ≈ 92,54 €

90 1,0143 ≈ 93,83 €

90 1,0144 ≈ 95,15 €

90 1,014x

 

  1. b) Muodostetaan a-kohdan avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien määrä x.

 

 

14 kokonaista vuotta ei aivan riitä. Farkut maksavat 110 € noin 15 vuoden kuluttua.

 

Vastaus: 15 vuoden kuluttua


 

Vahvista osaamistA

  1. a) 7x − 4 = 1

7x = 1 + 4

7x = 5

 x = log7 5

 x = 0,827...

 x ≈ 0,83

 

Vastaus: x = log7 5 ≈ 0,83

 

  1. b) 10x + 4 = 1

10x = 1 − 4

10x = −3

x = lg (−3)

 

Logaritmissa logaritmin sisällä olevan luvun on oltava positiivinen. Koska −3 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisua.

 

Vastaus: ei ratkaisua

 

  1. c) ex ⋅ 4 = 1 || :4

ex = 0,25

x = ln 0,25

 x = −1,386…

 x ≈ −1,39

 

Vastaus: x = ln 0,25 ≈ −1,39

 

 


 

  1. a)

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 6 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

 

Vastaus: x = 2

 

  1. b)

 

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −3

 


 

  1. c)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = 5

 

  1. d) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 3 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −6


 

  1. a)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −2

 

  1. b)

 

Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

 

Vastaus: x = −4

 


 

  1. c)

 

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −4

 

  1. d)

 

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 3 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

Vastaus: x = −2

 

  1. a)

 

 

Vastaus: 2,6

 

  1. b)

 

Vastaus: −0,8

 

  1. c)

 

Vastaus: 3,8

 


 

  1. d)

 

Vastaus: −0,8

 

 


 

  1. a) Luku x = log8 64 on yhtälön 8x = 64 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

8x = 64

8x = 82

 x = 2

 

Vastaus: 8x = 64 ja log8 64 = 2

 

  1. b) Luku x = lg 1000 on yhtälön 10x = 1000 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

10x = 1000

10x = 103

x = 3

 

Vastaus: 10x = 1000 ja log101000 = 3

 

  1. c) Luku x = log5 625 yhtälön 5x = 625 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

5x = 625

5x = 54

 x = 4

 

Vastaus: 5x = 625 ja log5625 = 4

 

  1. d) Luku yhtälön Ratkaistaan yhtälö.

 x = −4

 

Vastaus:  ja .

 

 


 

  1. a) Kolmekantainen logaritmi luvusta 81 merkitään log3 81. Luku x = log3 81 on yhtälön 3x = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

3x = 81

3x = 34

x = 4

 

Vastaus: log3 81 = 4

 

  1. b) Kymmenkantainen logaritmi luvusta 0,001 merkitään log100,001 = lg 0,001.

 

Luku x = log10 0,001 on yhtälön 10x = 0,001 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

 

Vastaus: lg 0,001 = −3

 

  1. c) Luonnollinen logaritmi luvusta e1000 merkitään ln e1000. Luku x= ln e1000 on yhtälön ex = e1000 Ratkaistaan yhtälö.

 

ex = e1000

 x = 1000

 

Vastaus: ln e1000 = 1000

 

 


 

  1. a) Yrityksen liikevaihto kasvaa joka vuosi 12 %, joten vuosittain liikevaihto 100 % + 12 % = 112 % = 1,12-kertaistuu.

 

Vuoden kuluttua liikevaihto on kerran 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on

1,5 ⋅ 1,12 = 1,68 (miljoonaa).

 

Kahden vuoden kuluttua liikevaihto on kahdesti 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on

1,5 ⋅ 1,122 = 1,8816 ≈ 1,88 (miljoonaa).

 

Vastaus: 1,68 miljoonaa, 1,88 miljoonaa

 

  1. b) Taulukoidaan liikevaihtoja vuosittain.

 

Aika (vuotta)

1

2

3

x

Liikevaihto (milj. €)

1,5 1,12

1,5 1,122

1,5 1,123

1,5 1,12x

 

Liikevaihto x vuoden päästä on 1,5 ⋅ 1,12x. Muodostetaan lausekkeen avulla yhtälö kaksinkertaiselle liikevaihdolle.

 

1,5 ⋅ 1,12x = 3,0 ||: 1,5

1,12x = 2

x = log1,122

x = 6,116…

 

6 vuotta ei aivan riitä liikevaihdon kaksinkertaistamiseen, joten aikaa kuluu 7 vuotta liikevaihdon kaksinkertaistamiseen.

 

Vastaus: 1,5 ⋅ 1,12x = 3, 7 vuoden kuluttua


 

  1. a) Ojittamattomia soita vuonna 2016 oli noin 700 000 ha. Ojittamattomien soiden pinta-ala pienenee vuodessa 2,3 %, joten seuraavana vuonna ojittamattomien soiden pinta-ala on 100 % − 2,3 % = 97,7 % nykyisestä pinta-alasta. Ojittamattomien soiden pinta-ala siis 0,977-kertaistuu.

 

Vuosia vuodesta 2000

Pinta-ala

0

700 000

1

700 000 ⋅ 0,977

2

700 000 ⋅ 0,977⋅ 0,977 = 700 000 ⋅ 0,9772

3

700 000 ⋅ 0,9773

x

700 000 ⋅ 0,977x

 

Sijoitetaan lausekkeeseen muuttujan x paikalle 2000 − 2016 = −16.

 

700 000 ⋅ 0,977−16 = 1 015 745,766… ≈ 1 015 000

 

Ojittamattomia soita oli vuonna 2000 noin 1 015 000 ha.

 

Vastaus: 1 015 000 ha

 

  1. b) Käytetään a-kohdan lauseketta ja muodostetaan yhtälö

 

 

 

2016 + 30 = 2046

 

Mallin mukaan ojittamattomien soiden pinta-ala on puolittunut vuonna 2046.

 

Vastaus: vuonna 2046


 

  1. a) Luku x = log6 36 on yhtälön 6x = 36 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

6x = 36

6x = 62

 x = 2

 

Siis luku log6 36 = 2.

 

Luku x = log2 8 on yhtälön 2x = 8 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

2x = 8

2x = 23

 x = 3

 

Siis luku log2 8 = 3.

 

Koska 2 < 3, luku log2 8 on suurempi.

 

Vastaus: log2 8

 

  1. b) Luku log2 42 > log2 32 ja luku x = log2 32 on yhtälön 2x = 32 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö

 

2x = 32

2x = 25

 x = 5

 

Luku log3 50 < log3 81 ja luku x = log3 81 on yhtälön 3x = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö.

 

3x = 81

3x = 34

 x = 4

 

Luku log2 42 on suurempi kuin 5 ja luku log3 50 on pienempi kuin 4, joten luku log2 42 on suurempi.

 

Vastaus: log2 42

 

  1. a) Sijoitetaan funktion lausekkeeseen x = 0 ja x = 1 ja lasketaan suhteellinen muutos funktion arvojen f(0) ja f(1) avulla.

 

f(0) = 0,15

f(1) = 0,15e0,18

 

Lasketaan suhteellinen muutos

 

 

Bambun pituus siis kasvaa noin 1,2-kertaiseksi ensimmäisen vuorokauden aikana, joten kasvua on noin 20 %.

 

Vastaus: 20 %

 

  1. b) Taimi oli istutettaessa 15 cm = 0,15 m pitkä. Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on 0,3. Ratkaistaan yhtälöstä x.

 

 

Bambun pituus kaksinkertaistuu noin 4 vuorokauden välein.

 

Vastaus: 4 vuorokautta

 


 

  1. c) Muodostetaan funktion lausekkeen avulla yhtälö.

 

 

Bambu kaadetaan noin 20 vuorokauden päästä istuttamisesta

 

Vastaus: 20 vuorokauden kuluttua

 

 

  1. Yhtälön au = av ratkaisu on u = v, jos kantaluku a > 0 ja a ≠ 1.

 

  1. a) Jos eksponenttiyhtälön molemmilla puolilla on sama kantaluku, niin yhtälön ratkaisu määräytyy eksponenttien perusteella. Tällöin eksponenttiyhtälön ratkaisu on x = 5 esimerkiksi, kun yhtälö on

2x = 25.

 

Vastaus: esim. 2x = 25

 

  1. b) Eksponenttiyhtälöllä on ratkaisu, kun yhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkiset. Täten esimerkiksi yhtälöllä 2x = −2 ei ole ratkaisua, koska termi 2x on positiivinen millä tahansa luvulla x.

 

Vastaus: esim. 2x = −2

 

  1. c) Eksponenttiyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, kun yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret ja eksponentit ovat samat. Esimerkiksi yhtälöllä 2x = 2x on äärettömän monta ratkaisua.

 

Vastaus: 2x = 2x


 

  1. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa marjasadon kokoa, kun lausekkeen muuttujana on aika vuosina.

 

Merkitään sadon suuruutta kirjaimella a. Sato kasvaa jokaisen vuoden aikana 8,7 %, joten jokaisen vuoden jälkeen sato on 100 % + 8,7 % = 108,7 % = 1,087-kertainen.

 

Vuoden päästä sadon koko on a ⋅ 1,087. Vastaavasti kahden vuoden päästä sadon koko on a ⋅ 1,0872 ja x vuoden päästä a ⋅ 1,087x

 

Kun sato on 2,5-kertaistunut, sen koko on 2,5a ja toisaalta a ⋅ 1,087x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan ajan hetki x, jona sato on 2,5a.

 

 

Jos kasvu jatkuisi samanlaisena, sato olisi nykyiseen verrattuna 2,5-kertainen 11 vuoden kuluttua.

 

Vastaus: 11 vuoden kuluttua

 

 

  1. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa aktiivisuuden heikkenemistä, kun lausekkeen muuttujana on aika vuorokausina.

 

Merkitään alkuperäistä aktiivisuutta kirjaimella a. Aktiivisuus pienenee jokaisen vuorokauden aikana 2 %, joten jokaisen vuorokauden jälkeen aktiivisuudesta on jäljellä 100 % − 2 % = 98 %.

Vuorokauden päästä aktiivisuus on a ⋅ 0,98.

Lasketaan aktiivisuuksia taulukkoon.

Päiviä

Aktiivisuus

0

a

1

a 0,98

2

a 0,98 0,98 = a 0,982

3

a 0,983

x

a 0,98x

 

 

 

 

 

 

 

Kun aktiivisuus on puolittunut, sen suuruus on 0,5a ja toisaalta a ⋅ 0,98x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä aktiivisuuden puoliintumisaika x.

 

 

 

Yhdisteen aktiivisuus on puolet alkuperäisestä noin 34 vuorokauden kuluttua.

 

Vastaus: 34 vuorokauden kuluttua

 

 


  1. Kymmenen desibelin kasvu äänenvoimakkuudessa vastaa havaitsijan kuuleman äänenvoimakkuuden kaksinkertaistumista. Etsitään appletista kohta, jossa äänenvoimakkuus saavuttaa tason 90 dB.

 

Appletista nähdään, että 10 soittajaa soittaa voimakkuudella 90 dB, jolloin tarvitaan 10 − 1 = 9 soittajaa lisää.

 

Vastaus: 9 trumpetistia


 

Syvennä ymmärrystä

  1. a)

 

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

 

Vastaus:

 

  1. b)

 

Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi.

 

 

 

Vastaus: x = 3

 

 

  1. a) Koska log10 0,1 = − 1, luvun logaritmi voi olla negatiivinen.

 

Vastaus: Tosi

 

  1. b) b-kantainen logaritmi luvusta a, logb a, on yhtälön bx = a Jotta negatiivisella luvulla voisi olla logaritmi, tulisi yhtälössä bx = a olla a< 0. Mutta koska logaritmin määritelmän mukaan b > 0 ja kantaluvun kaikki potenssit ovat positiivisia, a = bx > 0, ei voi myöskään luku a olla negatiivinen.

 

Vastaus: Epätosi

  1. ”Säännön 72” mukaan talletus kaksinkertaistuu vuodessa.

 

Lasketaan logaritmin avulla, kuinka monessa vuodessa talletus kaksinkertaistuu. Merkitään talletuksen määrää alussa kirjaimella a. Vuoden päästä talletuksen suuruus on a ⋅ 1,05 ja vastaavasti kahden vuoden päästä a ⋅ 1,052. Samoin x vuoden kuluttua talletuksen suuruus on a ⋅ 1,05x. Muodostetaan yhtälö ajalle, jossa talletus a kaksinkertaistuu, ja ratkaistaan siitä vuosien määrä x.

 

a  1,05x = 2a || :a

1,05x = 2

x = log1,05 2

x = 14,206...

 

Tulokset poikkeavat toisistaan noin 14,4 − 14,206… ≈ 0,2 vuotta = 2,4 kuukautta.

 

Vastaus: sääntö 72: 14,4 vuotta, logaritmi: 14,2 vuotta, 2,4 kuukaudella.

 

 

  1. a) Sijoitetaan annettu konsentraatio yhtälöön konsentraation c paikalle ja lasketaan pH-arvo.

 

 

Vastaus: pH = 9,5

 


 

  1. b) Ratkaistaan yhtälöstä konsentraatio c, kun tunnetaan pH-arvo 2,5.

 

Vastaus: c = 0,0032 mol/l

 

 

  1. a) Luku log2y on eksponentti, johon luku 2 on korotettava, jotta tulos olisi luku y. Koska log2 y = 6, niin y = 26 = 64.

 

Vastaus: y = 64

 

  1. b) Luku log3(4y + 1) on eksponentti, johon luku 3 on korotettava, jotta tulos olisi luku 4y + 1. Koska log3(4y + 1) = 4, eksponentti on 4.

 

Kirjoitetaan yhtälö luvulle 4y + 1, ja ratkaistaan siitä tuntematon y.

 

4y + 1 = 34

 

4y = 80 ||: 4

 

y = 20

 

Vastaus: y = 20

 


 

  1. c) Luku lg (5x2 + x − 5) on luku, johon luku 10 on korotettava, jotta tulos olisi luku 5x2 + x − 5. Koska lg (5x2 + x − 5) = 0, niin eksponentti on 0.

 

Kirjoitetaan yhtälö luvulle 5x2 + x − 5 ja ratkaistaan siitä x.

 

100 = 5x2 + x − 5

1 = 5x2 + x − 5

5x2 + x − 5 − 1 = 0

5x2 + x − 6 = 0

 

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

 

 tai  

 

Vastaus:  tai x = 1

 

  1. d) Koska logx 27 = 3, niin luku x on korotettava potenssiin 3, jotta tulos olisi 27.

 

Siis x3 = 27

 

Koska 33 = 27, niin x = 3.

 

Vastaus: x = 3


 

  1. a) Sijoitetaan kaavaan järistyksen voimakkuus M = 9,0 ja ratkaistaan yhtälöstä Sendainin järistyksessä vapautunut energia E.

 

1,44 ⋅ 9,0 = log10 E − 5,24

log10 E = 1,44 ⋅ 9,0 + 5,24

log10 E = 18,2

E = 1018,2

E = 1,584... ⋅ 1018

E ≈ 1,6 ⋅ 1018

 

Vastaus: 1,6 ⋅ 1018

 

  1. b) Koben järistyksessä vapautunut energia saadaan ratkaisemalla E yhtälöstä 1,44 ⋅6,8 = log10 E − 5,24.

 

log10 E = 1,44 ⋅ 6,8 + 5,24

log10 E = 15,032

E = 1015,032

E = 1,076... ⋅ 1015

 

Lasketaan Sendainin ja Koben järistyksissä vapautuneiden energioiden suhde.

 

 

 

Sendainin järistyksessä vapautunut energia oli noin 1500-kertainen Koben järistyksessä vapautuneeseen energiaan verrattuna.

 

Vastaus: 1500-kertainen


 

  1. a) Piirretään funktioden f(x) = x2 ja g(x) = 2x kuvaajat ja määritetään niiden leikkauspisteet.

 

Yhtälön ratkaisu on x ≈ −0,8, x ≈ 2,0 tai x ≈ 4,0.

 

Vastaus: x ≈ −0,8, x ≈ 2,0 tai x ≈ 4,0

 

  1. b) Piirretään funktioden f(x) = xn ja g(x) = nx kuvaajat eri vakion n

 

n = 1:

 

Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu.

n = 2: a-kohdan perusteella yhtälöllä on kolme ratkaisua.

 

n = 3:

 

Kun n = 3, yhtälöllä kaksi ratkaisua.

 

n = 4:

 

Kun n = 4, yhtälöllä on kolme ratkaisua.

 


 

n = 5:

 

Kun n = 5, yhtälöllä on kaksi ratkaisua.

 

Kokeilujen perusteella, kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun

n > 1 ja parillinen, yhtälöllä on kolme ratkaisua. Kun n > 1 ja pariton, yhtälöllä on kaksi ratkaisua.

 

Vastaus: Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun n > 1, parillisilla arvoilla kolme ratkaisua ja parittomilla arvoilla kaksi ratkaisua.


 

3.2 Potenssiyhtälö ja yleinen juuri

ALOITA PERUSTEISTA

  1. a)  

 

  1. b)

 

  1. c)

 

 

  1. a) Luvun 36 neliöjuuri on , sillä 62 = 36 ja 6 ≥ 0.

 

Vastaus:

 

  1. b) Luvun 8 kuutiojuuri on , sillä 23 = 8.

 

Vastaus:

 

  1. c) Luvun 81 neljäs juuri on , sillä 34 = 81 ja 3 > 0.

 

Vastaus:


 

  1. Ratkaistaan yhtälöt ja yhdistetään parit.

 

A: x2 = 4

 x =  

 x = ±2

 

B: x3 = 4

 x =  

 

C: x8 = 1

 x =  

 x = ±1

D: x5 = −1

 x =  

 x = −1

 

E: x6 = −2

Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku.

 

F: x5 = 32

x =  

x = 2

 

Vastaus: A: III, B: V, C: IV, D: II, E: VI ja F: I


 

  1. a) x2 = 49

 x =  

 x = ±7

 

Vastaus: x = ±7

 

  1. b) x3 = −27

x =  

x = −3

 

Vastaus: x = −3

 

  1. c) x4 = 10 000

 x =

 x = ± 10

 

Vastaus: x = ± 10

 

  1. d) 7x6 = 0 ||: 7

x6 = 0

x =  

x = 0

 

Vastaus: x = 0


 

  1. a) Luku 5 on juurrettava ja luvun 5 neljäs juuri merkitään . Väite on väärin.

 

Vastaus: väärin,

 

  1. b) Luvun 25 neliöjuuri on positiivinen luku 5. Väite on väärin.

 

Vastaus: väärin, 5

 

  1. c) Ratkaistaan yhtälö x4 = 7.

 

x4 = 7

 x =  

Väite on väärin.

 

Vastaus: väärin, x =

 

  1. d) Yhtälöllä x10 = −1 ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku.

 

Vastaus: oikein


 

  1. a)

 

 

Vastaus: x = 5

 

  1. b)

 

 

Vastaus: x = ±3

 

  1. c)

 

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku.

 

Vastaus: ei ratkaisua


 

  1. Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella x. Kuution tilavuus on pituus ⋅ leveys ⋅ korkeus, eli x ⋅ x x = x3. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä särmän pituus x.

 

 

1,709… dm =17,09… cm ≈ 17 cm

 

Ruukun särmän pituus on noin 17 cm.

 

Vastaus: 17 cm


 

  1. a) Jokaisen vuoden kuluttua sijoitus on kasvanut q-kertaiseksi, joten kerrotaan aina edellistä arvoa q:lla.

 

Vuosi

0

1

2

3

x

Sijoituksen arvo (€)

750

750 q

750 q q = 750 q2

750 q2 q = 750 q3

750 qx

 

 

  1. b) Koska aikaa on kulunut 7 vuotta, on x = 7. Muodostetaan funktion avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q.

 

 

Vastaus: 750 ⋅ q7 = 842,37, q ≈ 1,0167

 

  1. c) Rahastoon talletettu rahasumma 1,0167…-kertaistuu joka vuosi, joten rahasumma on 101,67… % edellisen vuoden arvosta, joten vuoden aikana kasvua on noin 101,67... % − 100 % = 1,67… % ≈ 1,7 %.

 

Rahaston keskimääräinen vuosituotto on noin 1,7 %.

 

Vastaus: 1,7 %


 

Vahvista osaamista

  1. a) Muokataan yhtälöä.

 

x3 + 7 = 350

x3 = 343

 

Yhtälöllä on yksi ratkaisu, sillä tuntemattoman luvun potenssi on pariton.

 

Vastaus: yksi ratkaisu

 

  1. b) Muokataan yhtälöä.

 

2x6 = −1458 ||: 2

x6 = −729

 

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku.

 

Vastaus: ei ratkaisua

 

  1. c) Sievennetään yhtälöä.

 

x6 − 5 = −69

x6 = −64 ||: (−1)

x6 = 64

 

Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, sillä tuntemattoman luvun potenssi on parillinen ja yhtälön oikealla puolella on positiivinen luku.

 

Vastaus: kaksi ratkaisua


 

  1. a) Luku  on potenssiyhtälön x5 = 32 ratkaisu.

 

Juuren  arvo on 2, sillä 25 = 16.

 

Vastaus: x5 = 32,

 

  1. b) Luku on potenssiyhtälön x3 = −64 ratkaisu.

 

Juuren  arvo on −4, sillä (−4)3 = −64.

 

Vastaus: x3 = −64,

 

  1. c) Luku on potenssiyhtälön x7 = 10 000 000 ratkaisu.

 

Juuren  arvo on 10, sillä 107 = 10 000 000.

 

Vastaus: x7 = 10 000 000,

 

  1. d) Luku on potenssiyhtälön x3 = 1 000 000 ratkaisu.

 

Juuren  arvo on 100, sillä 1003 = 1 000 000

 

Vastaus: x3 = 1 000 000,


 

  1. a) 2x4 + 65 = x4 + 321

x4 = 256

x =  

x = ±4

 

Vastaus: x = ±4

 

  1. b) 2x(3 − x2) = 6x + 54

6x 2x3 = 6x + 54

2x3 = 54 ||: (−2)

 x3 = −27

  x =  

 x = −3

 

Vastaus: x = −3

 

  1. c) (x2)3 + 7 = 736

x6 + 7 = 736

x6 = 729

x =  

x = ±3

 

Vastaus: x = ±3

 


 

  1. Pallon tilavuus lasketaan josta puolipallon tilavuus on puolet eli . Konserttiteltan pohja on ympyrä, jonka säde on puolipallon säde. Ratkaistaan yhtälöstä säde r, kun tilavuus V = 56550.

 

 

Lasketaan pohjaympyrän pinta-ala kun säde on 30,000… metriä.

 

 

Lattia pinta-ala on noin 2827 m2.

 

Vastaus: 2827 m2


 

  1. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen sijoitus muuttuu kertoimelle q vuosittain kuuden vuoden ajan, joten kuuden vuoden päästä sijoitus on 140 000 € ⋅ qqq q qq = 140 000 € ⋅ q6.

 

Asunnon arvon odotetaan nousevan 30 000 €, jolloin kuuden vuoden päästä arvon tulee olla 140 000 € + 30 000 € = 170 000 €.

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q.

 

 

 

Hylätään negatiivinen korkokerroin q.

 

Sijoituksen arvo kasvaa vuosittaa 1,033- kertaiseksi, joten asnnon arvo on 103,3 % edellisvuoden arvosta. Arvo kasvaa silloin noin 103,3 % − 100 % = 3,3 % vuosittain.

 

Sijoittaja odottaa sijoitukselleen noin 3,3 % vuosituottoa.

 

Vastaus: 3,3 %


 

  1. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen valokopioiden määrä 151 000 muuttuu q-kertaiseksi vuositain viiden vuoden ajan.

151 000 ⋅ qqq qq = 151 000 ⋅ q5.

 

Viiden vuoden vähennysten jälkeen valokopiota on tarkoitus ottaa
0,6 ⋅ 151 000 = 90 600.

 

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutoskerroin q.

 

 

 

Valokopioiden määrän on tultava joka vuosi 0,90288…-kertaiseksi, joten niiden määrän täytyy vähentyä

100 % − 90,288… % = 9,711… % ≈ 10 %.

 

Vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi tulee asettaa noin 10 %

 

Vastaus: 10 %


 

  1. Vuodesta 2004 vuoteen 2016 on kulunut 12 vuotta.
  2. a) Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen hinta 0,90 € muuttuu joka vuosi q-kertaiseksi 12 vuoden ajan.

  

 

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutos q.

 

 

Mehun hinta muuttui 1,03242…-kertaiseksi vuodessa, joten hinta oli noussut noin 103,243… % − 100 % = 3,243… % ≈ 3,2 %.

 

Mehun hinta kasvoi noin 3,2 % vuodessa.

 

Vastaus: 3,2 %

 

  1. b) Merkitään vuodesta 2004 alkaen kuluneiden vuosien määrää kirjaimella x. Tällöin mehun hinta x vuoden kuluttua on 0,90 ⋅1,03243…x.

 

Lasketaan lausekkeen arvo, kun aikaa on kulunut

2025 − 2004 = 21 vuotta.

 

0,90 ⋅ 1,03243...21 = 1,759… ≈ 1,76

 

Mehu maksaa noin 1,76 euroa vuonna 2025.

 

Vastaus: 1,76 €

 


 

  1. c) Muodostetaan b-kohdan lausekkeen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien lukumäärä x.

 

 

Aikaa vuodesta 2004 on kulunut kolme vuotta, joten mehu maksoi tasan euron vuonna 2007.

 

Vastaus: 2007

 

 

  1. a) Tanskandoggin paino on alussa 500 g ja viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi arvoon 500 ⋅ q.

 

Kahden viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi

500 ⋅ q ⋅ q = 500 ⋅ q2.

 

14 viikon päästä paino on vastaavasti 500 ⋅ q14, jolloin paino saavuttaa arvon 20 kg eli 20 000 g. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q.

 

 

Hylätään negatiivinen kerroin q.

 

Paino kasvaa joka viikko noin 1,301…-kertaiseksi, joten paino kasvaa 130,1… % − 100 % ≈ 30 %.

 

Tanskandoggin paino kasvaa noin 30 % viikossa.

 

Vastaus: 30 %

  1. b) Merkitään viikkojen määrää syntyhetkestä alkaen kirjaimella x. Tällöin tanskandoggin massa x viikon ikäisenä on 50 ⋅ 1,301...x.

 

Muodostetaan yhtälö tanskandoggin massalle ja ratkaistaan siitä viikkojen määrä x.

 

 

Paino saavuttaa 50 kilogrammaa 17 täyden viikon jälkeen, jolloin tarvitaan 18 viikkoa, jotta 50 kilogramman paino on saavutettu.

 

Vastaus: 18 viikon kuluttua


 

  1. a) Muodostetaan lauseke, joka kuvaa alkuperäisen valon voimakkuuden, 100 luksia, heikkenemistä. Merkitään muutosta kuvaava kerrointa kirjaimella q.

 

Yhden metrin matkalla voimakkuus heikkenee q-kertaiseksi arvoon 100q.

 

Kahden metrin matkalla 100qq = 100q2.

 

Vastaavasti 12 metrin matkalla valo heikkenee arvoon

 

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q.

 

 

 

Valon voimakkuus tulee jokaisella metrin matkalla 0,81818…-kertaiseksi, joten voimakkuus pienenee noin 100 % − 81,818… % = 18,181… % ≈ 18 %.

 

Valon voimakkuus pienenee noin 18 % metriä kohden.

 

Vastaus: 18 %

 


 

  1. b) Merkitään matkaa syvyyssuunnassa kirjaimella x. Tällöin valon voimakkuus x metrin etäisyydellä veden pinnasta on 100 ⋅ 0,81818...x.

 

50 luksia = 0,050 kiloluksia

 

 

Valon voimakkuus on 50 luksia noin 38 metrin syvyydellä.

 

Vastaus: 38 m


 

  1. a) Merkitään osakkeiden alkuperäistä hintaa kirjaimella a.

 

Hinta 1. korotuksen jälkeen: 1,046a

Hinta 2. korotuksen jälkeen: 1,024 ⋅ 1,046a

Hinta 3. korotuksen jälkeen: 1,031 ⋅ 1,024 ⋅ 1,046a

Hinta 4. korotuksen jälkeen: 1,017 ⋅ 1,031 ⋅ 1,024 ⋅ 1,046a

 

Korotuksien jälkeen osakkeiden hinnat olivat

1,017 ⋅ 1,031 ⋅ 1,024 ⋅ 1,046a = 1,12308… a.

 

Hinnat kasvoivat 1,12308…-kertaiseksi, joten ne kasvoivat n.

112,308… % − 100 % = 12,308… % ≈ 12,3 %.

 

Hinnat kasvoivat noin 12,3 % vuosittain.

 

Vastaus: 12,3 %.

 

  1. b) Alussa hinnat olivat a ja neljän vuoden kuluttua 1,12308… a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q.

 

 

 

Hinnat nousivat joka vuosi 1,02944…-kertaisiksi, joten hinnat nousivat noin 102,944… % − 100 % = 2,944… % ≈ 2,9 %.

Hinnat nousivat noin 2,9 % vuosittain.

 

Vastaus: 2,9 %


 

  1. Merkitään viraston oikeaa budjettia kirjaimella a. Tällöin 50 prosentilla ylitetty budjetti on 1,5a.

 

Muodostetaan lauseke, jossa budjetti pienenee viisi vuotta peräkkäin vuosittain q-kertaiseksi.

 

Vuoden päästä 1,5aq

Kahden vuoden päästä 1,5aq q

Viiden vuoden päästä 1,5aqq q q q = 1,5a q5.

 

 

 

Budjetin tulee pienentyä joka vuosi 0,9221…-kertaiseksi, joten budjetin on pienennytävä noin 100 % − 92,210… % = 7,789…% ≈ 7,8 %.

Budjettia on leikattava noin 7,8 % vuosittain.

 

Vastaus: 7,8 %


 

  1. Merkitään kysyttyä letkun halkaisijaa kirjaimella x ja taulukoidaan tehtävänannon tietoja taulukkoon.

 

halkaisija4 (cm)

aika (min)

1,54

45

x4

10

 

Letkun halkaisijan neljäs potenssi ja aika ovat kääntäen verrannollisia. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä halkaisija x.

 

 

Hylätään negatiivinen halkaisija.

 

Letkun halkaisijan tulisi olla noin 2,2 cm.

 

Vastaus: 2,2 cm

 


 

  1. Merkitään hiukkasten alkuperäistä määrää kirjaimella a.
  2. a) Paksuudeltaan 3 mm hengityssuojaimen läpi päässeiden hiukkasten määrä on 0,25a.

 

Muodostetaan lauseke, jossa pölyinen ilma kulkee yhden millimetrin paksuisen suodattimen läpi kolme kertaa.

 

Suodattimia

1

2

3

Hiukkasten määrä

aq

aqq = a q2

aq2 q = a q3

 

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q.

 

 

 

Pölyhiukkasten määrä tulee 0,629…-kertaiseksi kulkiessaan 1 mm paksuisen suodattimen läpi. Suodattimen läpäisee noin 63 % pölyhiukkasista.

 

Vastaus: 63 %

 

  1. b) Merkitään suodattimen paksuutta millimetreinä kirjaimella x. Läpi päässeiden pölyhiukkasten lukumäärä on 0,05a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä paksuus x.

 

 

 

Suodattimen paksuuden tulee olla noin 6,5 mm.

 

Vastaus: 6,5 mm

 

  1. Merkitään Laatokan veden määrää kirjaimella a. Vedeestä vaihtuu joka vuosi yhtä monta prosenttia, joten veden määrä tulee vuosittain q-kertaiseksi.

 

Vuoden kuluttua vesimäärä on aq. Kahden vuoden päästä vesimäärä on aq2. Yhdentoista vuoden päästä vesimäärä on vastaavasti aq11.

 

11 vuodessa vedestä on vaihtunut 99 %, eli 1 % on vielä vaihtumatonta vettä. Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan q.

 

 

 

Puolet veden määrästä on 0,5a. Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista aika x.

 

 

 

Vedestä on vaihtunut puolet noin 1,7 vuodessa.

 

Vastaus: 1,7 vuodessa

 


 

  1. Merkitään hiili-14-isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a.

 

Radioaktiivisuus vähenee joka vuosi yhtä monta prosentti, joten määrä tulee vuosittain q-kertaiseksi.

 

Koska aineen määrä om puolittunut 5730 vuoden kulutua, hiilestä on jäljellä määrä 0,5a.

 

Vuoden päästä isotoopin määrä on aq.

Kahden vuoden päästä isotoopin määrä on aqq = a q2.

5730 vuoden päästä isotoopin määrä on a q5730.

 

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q.

 

 

 

Hiili-14-isotoopin määrä tulee joka vuosi 0,99987…-kertaiseksi, joten aineesta hajoaa noin 100 % − 0,99987… % = 0,01209… % ≈ 0,0121 %.

 

Hiili-14-isotoopin määrä vähenee vuosittain n. 0,0121 %.

 

Vastaus: 0,0121 %

 


 

Syvennä ymmärrystä

  1. a)

 

 

Vastaus: x = −1

 

  1. b)

 

 

 

Vastaus:  tai

 

  1. c)

 

 

Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska x10 ja x12 ovat parillisia potensseja ja parillinen potenssi on aina positiivinen luku tai 0 ja kahden positiivisen luvun tai nollan summa ei voi olla negatiivinen.

 

Vastaus: ei ratkaisua

 

  1. Keplerin kolmannen lain mukaan

 

 

 

Avaruusasema ja Kuu noudattavat Keplerin kolmatta lakia Maan suhteen. Avaruusaseman kiertoaika saadaan selville Keplerin lain avulla sijoittamalla siihen Kuun ja Avaruusaseman tiedot. Olkoon T1 ja r1 avaruusaseman kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri ja T2 ja r2 kuun kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri.

 

T1 = x

r1 = 6370 km + 400 km = 6770 km

T2 = 27,32 vrk
r2 = 6370 km + 406 000 km = 412 370 km

 

 

Aikaa kuluu yhteen kierrokseen n. 0,057 vuorokautta.

Muutetaan aika tunneiksi ja minuuteiksi.

 

0,0574… ⋅ 24 ⋅ 60 min = 82,755… min ≈ 83 min = 1h 23 min

 

Kierrokseen kuluu aikaa noin 1h 23 min.

 

Vastaus: 1h 23 min


 

  1. Juoksulajit: P = A ⋅ (BT)C, jossa tulos T on sekunteina

Kenttälajit: P = A ⋅ (TB)C, jossa tulos T on metreinä

 

  1. a) Korkeushyppy on kenttälaji.

Sijoitetaan T = 177 cm = 1,77 m,

A = 916,3250,

B = 0,75 ja

C = 1,348

kenttälajien pistelaskun kaavaan ja lasketaan pistemäärä.

 

P = A ⋅ (BT)C = 916,3250 ⋅ (1,77 − 0,75)1,348 = 941,114…≈ 941

 

Vastaus: 941 pistettä

 

  1. b) 400 metrin juoksu on juoksulaji.

Sijoitetaan P = 859,

A = 1,53775,

B = 82 ja

C = 1,81

juoksulajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä juoksun tulos T.

 

 

 

Vastaus: 49,06 s


 

 

  1. c) Keihäänheitto on kenttälaji.

Sijoitetaan T = 36,94 m,

P = 609

A = 15,9803 ja

B = 3,8

kenttälajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan siitä vakio C.

 

 

 

Vastaus: 1,04

 

 


 

  1. Skeittiramppi laskee yhtä monta prosenttia jokaista metriä kohden alkukorkeudesta loppukorkeuteen. Rampin alkukorkeus maan pinnalta mitattuna on 3,0 m ja loppukorkeus 3,0 m − 2,6 m = 0,4 m.

 

Skeittirampin korkeus q-kertaistuu jokaisella vaakasuuntaisella metrillä. Muodostetaan yhtälö rampin loppukorkeudelle 2,7 metrin päästä.

 

Skeittirampin korkeus metrin päästä on 3,0 ⋅ q

Kahden metrin päästä 3,0 ⋅ qq = 3,0 ⋅ q2

2,7 metrin päästä 3,0 ⋅ q2,7

 

Muodostetaan yhtälö ja atkaistaan siitä q.

 

 

 

Korkeus tulee joka metrillä 0,47413…-kertaiseksi, jolloin se pienenee noin 100 % − 47,413…% = 52,586… % ≈ 53 %.

Korkeus pienenee noin 53 % metriä kohden.

 

Vastaus: 53 %

 


 

  1. a) Lasketaan lausekkeet sopivalla ohjelmalla:  ja . Huomataan, että arvot ovat yhtä suuret.

 

Vastaus:  ja , yhtä suuret

 

  1. b)

 

Tuloksen mukaan luvun  toinen potenssi on luku 16. Tämä toteuttaa neliöjuuren määritelmän. Täten neliöjuuri ja potenssi  voidaan samaistaa, kun kantaluku on positiivinen.

 

Vastaus: 16

 

  1. c) Oletetaan b-kohdan perusteella, että potenssi tarkoittaa samaa kuin kuutiojuuri.

 , sillä 103 = 1000.

 

Tarkistus sopivalla ohjelmalla antaa saman tuloksen.

 

Vastaus: 10


 

Aloitusaukeamaan liittyviä tehtäviä

  1. Merkitään kymmenkertaistumisten lukumäärää kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö kuoron henkilöiden määrälle ja ratkaistaan siitä määrä x.

 

 

 

Äänen voimakkuus kaksinkertaistuu jokaista äänilähteiden kymmenkertaistumista kohti. Merkitään yhden hengen äänen voimakkuutta kirjaimella a. Tällöin 200 hengen kuoron äänen voimakkuus on

a ⋅ 22,301... = a ⋅ 4,928... ≈ 4,9a.

 

200 hengen kuoron äänen voimakkuus on noin 4,9-kertainen verrattuna yhden ihmisen äänen voimakkuuteen.

 

Vastaus: 4,9-kertainen

 

 

  1. Sijoitetaan annettuun lausekkeeseen linnun ja moottorisahan muodostamat äänenpaineet.

 

 

Lintu:

 

Linnun äänen voimakkuus on noin 50,0 dB.

 


 

Moottorisaha:

 

Moottorisahan äänenvoimakkuus on noin 85,0 dB.

 

Kun äänilähteiden määrä kaksinkertaistuu, äänenpainekin kaksinkertaistuu.

 

Kaksi lintua:

 

Lasketaan kahden ja yhden linnun äänen voimakkuuksien erotus.

 

55,986... dB − 49,966... dB = 6,020... dB ≈ 6,0 dB

 

Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 dB.

 

Moottorisaha:

 

Lasketaan kahden ja yhden moottorisahan äänen voimakkuuksien erotus.

 

91,004... dB − 85,982... dB = 6,018... dB ≈ 6,0 dB

 

Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 dB.

 

Vastaus: 50,0 dB ja 85,0 dB, kasvaa 6,0 dB

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä