OmatKokeilut

Toisen asteen polynomifuktio-vanha-paranneltu

Toisen asteen polynomi on muotoa

[[$$ P(x)=ax^2+bx+c \quad\textrm{ missä } \quad a \neq 0. $$]]

Luvut [[$a,b, \textrm{ ja } c$]] ovat polynomin kertoimet.
Jos kerroin [[$a=0$]], polynomin asteluku on yksi eikä polynomi ole toista astetta.

Yhtälön [[$y=x^2$]] kuvaaja on ns. perusparaabeli. Piirrä ensin perusparaabeli
sijoittamalla pisteitä koordinaatistoon. Piirrä tämän jälkeen [[$y=x^2-2x-1$]] ja [[$y=-x^2+2$]].

Pekan kommentti: Laskinsovelluksena on parempi rohkaista piirtämään kuvaaja suoraan laskimella ilman, että piirretään laskimella yksittäisiä pisteitä koordinaatistoon.

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan akselin suhteen.

Tutki paraabelin kuvaajan riippuvuutta kertoimien [[$a,b, \textrm{ ja } c$]] arvoista seuraavan sovelman avulla: Linkki paraabelin kuvaajasovelmaan

Paraabeli

  • aukeaa ylös, jos [[$a>0$]]
  • aukeaa alas, jos [[$a<0$]]

Kuvaajasta nähdän, että paraabeli voi leikata [[$x$]]-akselin kahdessa kohdassa. Nämä ovat toisen asteen polynomifunktion nollakohtia, joissa [[$P(x)=0$]].

Nollakohtien ratkaisemista tarkastellaan kahdessa seuraavassa kohdassa.

Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomi on muotoa

[[$$ P(x)=ax^2+bx+c \quad\textrm{ missä } \quad a \neq 0. $$]]

Luvut [[$a,b, \textrm{ ja } c$]] ovat polynomin kertoimet.
Jos kerroin [[$a=0$]], polynomin asteluku on yksi eikä se siis ole toista astetta.

Tutki toisen asteen polynomifunktion kulkua seuraavan laskinsovelluksen avulla.
Yhtälön [[$y=x^2$]] kuvaaja on ns. perusparaabeli. Piirrä ensin perusparaabeli
sijoittamalla pisteitä koordinaatistoon. Piirrä tämän jälkeen [[$y=x^2-2x-1$]] ja [[$y=-x^2+2$]].



Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan akselin suhteen.

Tutki paraabelin kuvaajan riippuvuutta kertoimien [[$a,b, \textrm{ ja } c$]] arvoista seuraavan sovelman avulla: Linkki paraabelin kuvaajasovelmaan

Paraabeli

  • aukeaa ylös, jos [[$a>0$]]
  • aukeaa alas, jos [[$a<0$]]

Kuvaajasta nähdän, että paraabeli voi leikata [[$x$]]-akselin kahdessa kohdassa. Nämä ovat toisen asteen polynomifunktion nollakohtia, joissa [[$P(x)=0$]].

Nollakohtien ratkaisemista tarkastellaan kahdessa seuraavassa kohdassa.

Liitteet:

Paraabelien kuvaajat nSpire-laskimella

Vaillinainen toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on yleisesti muotoa [[$ax^2+bx+c=0, a\neq 0$]]. Kaikki polynomiyhtälöt, joissa muuttujan korkein asteluku on 2, voidaan muuttaa tähän muotoon. Yhtälöä kutusutaan vaillinaiseksi, jos [[$b=0$]] tai [[$c=0$]], eli ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi puuttuu.

Piirretään laskimella paraabeli [[$y=x^2-5$]]. Paraabelin nollakohdissa y-koordinaatti y = 0.

Nollakohdat saadaan yhtälöstä [[$x^2-5=0$]]. Kun yhtälössä tuntematon [[$x$]] on vain toisen asteen terminä, yhtälö ratkeaa neliöjuuren avulla (1. kurssi).

[[$x^2-5=0 \Leftrightarrow x^2=5 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}(\approx 2,24)$]].

Yhtälö [[$ ax^2+c=0$]].

Jos yhtälöstä puuttuu 1. asteen termi, yhtälöstä ratkaistaan ensi [[$x^2$]] ja sen jälkeen [[$x$]] ratkeaa neliöjuuren avulla.

[[$$ ax^2 + c=0 \Leftrightarrow ax^2=-c \Leftrightarrow x^2=-\frac{c}{a} \Leftrightarrow x=\sqrt{-\frac{c}{a}}$$]]

Esimerkki a) [[$5x^2-60=0$]] b) [[$-2x^2-6=0$]]

Ratkaisu.
a)
\begin{eqnarray} 5x^2-60&=&0 \\
5x^2&=&60 \Big| :5 \\
x^2&=&12 \Big| \sqrt{} \\
x&=&\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\end{eqnarray}
Nämä kaksi kohtaa (a) ja b) ) saisivat olla vierekkäin 2 palstalla. Latex-tiedostossa pitäisi toimia \begin{multicols}{2}, mutta se ei toimi tässä. Lisäksi tarkoitus saad myös vaihetitain ratkaistavat vastaavat esiemerkit.

b)
\begin{eqnarray} -2x^2-6&=&0 \\
-2x^2&=&6 \quad \Big| :(-2) \\
x^2&=&-3 \quad \Big| \textrm{Nyt negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta.} \\
\textrm{Yhtälöllä ei ole ratkaisua}
\end{eqnarray}

Tulon nollasääntö.

Milloin kertolasku [[$a \cdot b=0$]]?

Kertolaskun tulos on nolla vain, jos vähintään toinen tulon tekijöistä on nolla. Tämä sääntö tunnetaan tulon nollasääntönä.

Faktalaatikkoon kaava [[$a \cdot b=0 \Leftrightarrow a=0 \textrm{ tai } b=0$]]

Esim. Ratkaise [[$(x+2)(2x-6)=0$]]. Yhätlön vasen puoli on tulo, koska laskujärjestyksessä viimeinen toimenpide on kertolasku,. Tulon nollasäännöllä saadaan

[[$ x+2=0 \textrm{ tai } 2x-6=0 \Leftrightarrow x=-2 \textrm{ tai } 2x=6$]],
josta saadaan ratkaisut [[$x=-2 \textrm{ tai } x=3 $]]

Yhtälö [[$ ax^2+bx=0$]].

Yhtälö, josta puuttuu vakiotermi, voidaan ratkaista tekijöihin jakamalla.
Esimerkiksi
[[$2x^2+7x^2=0 \Leftrightarrow x(2x-7)=0 \Leftrightarrow$]]

[[$ 2x=0 \textrm{ tai } 2x-7=0 \Leftrightarrow x=0 \textrm{ tai } x=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2} $]]

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä